Звезда и треугольник

Представьте токи \(I_0\) и \(I\) как два независимых источника тока и наложите их действие. Для каждого из них цепь оказывается сбалансированным мостом: через один из резисторов ток не идёт.

Способ 1. Воспользуемся методом наложения токов. Представим два независимых источника тока: один создаёт ток силой \(I_0\), другой — регулируемый ток \(I\) (см. рисунок 1). При расстановке токов учтём, что часть цепи для каждого источника представляет собой сбалансированный мост.

Способ 2. Введём токи \(I_1\) и \(I_2\), далее, с учётом первого и второго правил Кирхгофа выразим через них токи во всех остальных участках разветвлённой цепи (см. рисунок 2).

Запишем первое правило Кирхгофа для узлов \(A\) и \(B\) и получим систему уравнений: \[\begin{cases} 2I_2 + 2I_1 + I_1 = I_0 + 2I_2 - 3I_1,\\ 3I_2 - 2I_1 + I_2 - I_1 + 2I_2 - 3I_1 = I. \end{cases}\] \[\begin{cases} I_1 = I_0/6,\\ I_2 = (I + I_0)/6. \end{cases}\]

Заметим, что ток \(I\) никак не влияет на силу тока через верхний резистор, следовательно: \[\Delta I_\text{верх} = 0.\] Изменение силы тока через нижний резистор \[\Delta I_\text{нижн} = \Delta\left(\frac{I}{2} + \frac{I_0}{6}\right) = \frac{\Delta I}{2}.\]

Единственный резистор, через который токи от двух источников направлены противоположно, — это резистор \(2R\) между узлами \(A\) и \(B\). Условие обнуления тока: \[I'/3 = I_0/6.\] Таким образом \(I' = I_0/2\).

Ответ на четвёртый вопрос можно получить разными способами.

Способ 1. Мощность можно рассчитать как сумму мощностей воображаемых источников токов \(I_0\) и \(I\). Напряжение между узлами \(B\) и \(C\): \[U_{BC} = \left(\frac{I}{2} + \frac{I_0}{6}\right)\cdot 2R,\] а между узлами \(A\) и \(C\): \[U_{AC} = \left(\frac{I}{3} + \frac{2I_0}{3}\right)\cdot R.\] Тогда суммарная тепловая мощность, выделяющаяся в цепи, равна: \[P(I) = U_{BC}I + U_{AC}I_0 = RI^2 + \frac23 II_0R + \frac23 RI_0^2.\]

Способ 2. Тот же результат можно получить как сумму тепловых мощностей на каждом резисторе: \[P(I) = R\left(\frac{I}{3} + \frac{2I_0}{3}\right)^2 + 2R\left(\frac{I_0}{6}\right)^2 + 2R\left(\frac{I}{6} + \frac{I_0}{6}\right)^2 + 4R\left(\frac{I}{6}\right)^2 + 2R\left(\frac{I}{3} - \frac{I_0}{6}\right)^2 + 2R\left(\frac{I}{2} + \frac{I_0}{6}\right)^2.\] Минимум выражения \(P(I)\) (вершина параболы) достигается при: \[I^* = -\frac{I_0}{3}.\] Соответствующая минимальная мощность: \[P_{\min} = P(I^*) = \frac59 RI_0^2.\]