Наибольшая мощность насоса

Пусть скорость движения жидкости через насос — \(v\), площадь сечения трубопроводов насоса — \(S\). Тогда за малое время \(\Delta t\) насос перемещает массу жидкости \(\Delta m = \rho Sv\Delta t\) (\(\rho\) — плотность жидкости), и, следовательно, \[\mu = \dfrac{\Delta m}{\Delta t} = \rho Sv.\] С другой стороны, поскольку насос действовал на эту жидкость силой \(F = \Delta pS\) (\(S\) — площадь сечения трубопроводов насоса), то его мощность есть \[N = Fv = \Delta pSv = \dfrac{\Delta p\,\mu}{\rho}.\] Таким образом, мощность, развиваемая насосом есть (с точностью до постоянного множителя \(\rho\)) произведение напора на расход \[N \sim \Delta p\,\mu = p_0\mu - \alpha\mu^3.\] Чтобы найти максимальную мощность насоса нужно найти максимум этого выражения. Дифференцируя \(N\) по \(\mu\) и приравнивая производную к нулю, находим напор, отвечающий максимальной мощности \[N' = p_0 - 3\alpha\mu^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad \mu_{\max} = \sqrt{\dfrac{p_0}{3\alpha}}.\] А подставляя это значение в формулу для мощности, найдем саму максимальную мощность \[N_{\max} = \dfrac{2p_0}{3\rho}\sqrt{\dfrac{p_0}{3\alpha}}.\]