Бросок под двумя углами

Вспомните формулы для дальности полёта и для максимальной высоты при броске под углом к горизонту. Какая связь между двумя углами получается, если дальности равны?

Дальность полёта \(l\) тела, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\), определяется известным соотношением \[l = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}.\] Поэтому для бросков под углами \(\alpha\) и \(\beta\) дальность полёта будет одинаковой, если \[\sin 2\alpha = \sin 2\beta \quad\Rightarrow\quad \beta = 90^\circ - \alpha.\] Поскольку максимальная высота подъёма тела, брошенного под углом \(\alpha\), есть \[h = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g},\] то условие, что дальность полёта равна сумме высот подъёма двух бросков, даёт \[l = h_1 + h_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} + \frac{v_0^2 \sin^2\beta}{2g}.\] Но поскольку \(\sin\beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha\), то это уравнение с учётом основного тригонометрического тождества даёт \[\sin 2\alpha = \frac{1}{2}.\] Откуда находим два набора корней: \(\alpha = 15^\circ\), \(\beta = 75^\circ\) и \(\alpha = 75^\circ\), \(\beta = 15^\circ\).