Шарики-столкновение

Разделите движение по осям: до удара свободное падение с начальной скоростью, при неупругом ударе сохраняется импульс.

1. Первый шарик начинает движение из начала координат, а второй – из точки \(A\). До и после столкновения (в точке \(B\)) шарики свободно падают. Поэтому до столкновения для первого шарика \[y_1(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = v_0\sin\alpha\, t - \frac{gt^2}{2}, \qquad v_{1y}(t) = v_0\sin\alpha - gt,\] а для второго шарика \[v_{2y}(t) = -gt.\]

2. Шарики сталкиваются в момент \(t_1\), при этом импульс системы двух шариков сохраняется: \(m\vec v_1 + m\vec v_2 = 2m\vec u_0\), а скорость \(\vec u_0\) шариков после удара согласно условию горизонтальна. Поэтому \(v_{1y}(t_1) + v_{2y}(t_1) = 0\), или \((v_0\sin\alpha - gt_1) + (-gt_1) = 0\), откуда \[t_1 = \frac{v_0\sin\alpha}{2g}.\] 3. Столкновение шариков происходит на высоте \[h = y_1(t_1) = v_0\sin\alpha\cdot t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} - \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \frac{3}{8}\cdot\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}.\] 4. Поскольку скорость шариков после удара горизонтальна, интервал времени \(t_2\) от столкновения шариков до их падения на Землю находится из условия \(h = \dfrac{gt_2^2}{2}\), откуда \[t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{3}\cdot\frac{v_0\sin\alpha}{2g}.\] 5. Шарики упадут на Землю в момент \[\tau = t_1 + t_2 = \frac{v_0\sin\alpha}{2g}\cdot(1+\sqrt{3}).\]