Горячий резистор

Сопротивление нагреваемого проводника растёт с мощностью; изменение сопротивления малого резистора точно измеряют мостиком, где разность потенциалов пропорциональна \(\Delta R\).

1.2) \(R_1=R_0\dfrac{U_1}{U_0}\); 1.3) \(R_1=0{,}69\) Ом; 1.4) \(R_{x0}=4{,}30\) Ом; 1.9) зависимость \(\Delta R_x(P)\) нелинейна, предположение не подтверждается; 2.1) \(\Delta U=\dfrac{U_0}{R_0}\Delta R_1\); 2.4) зависимость \(\Delta R_1(P)\) линейна, предположение подтверждается.

Что происходит. Мощность \(P=I^2R\) идёт на нагрев, а нагретое тело отдаёт тепло в воздух тем быстрее, чем горячее. Установившаяся температура \(T\) определяется равенством выделяемой и отдаваемой мощностей, а сопротивление металла растёт с температурой. Значит, график «изменение сопротивления — мощность» показывает, как греется тело. Если сопротивление линейно зависит от температуры, \(R=R_{\text{х}}(1+\alpha\,\Delta T)\), а отдаваемая мощность пропорциональна перегреву, \(P=\beta\,\Delta T\), то \[\Delta R=R_{\text{х}}\alpha\,\Delta T=\frac{R_{\text{х}}\alpha}{\beta}\,P,\] то есть \(\Delta R\) линейно зависит от \(P\). Проверять оба предположения сразу и нужно по этой прямой.

Обозначения. \(R_0=0{,}51\) Ом — эталон; \(U_0\), \(U_1\), \(U_x\) — напряжения на \(R_0\), \(R_1\) и лампочке; \(R_{x0}\) — сопротивление холодной лампочки. Приведённые числа — результаты образцового выполнения работы.

Часть 1. Лампочка накаливания.

Пункты 1.1–1.3. Точное измерение \(R_1\). Сопротивление около 0,7 Ом мультиметром в режиме омметра не измерить: сопротивление щупов и контактов сравнимо с самим измеряемым. Поэтому сравниваем \(R_1\) с эталонным \(R_0\) при одном и том же токе: последовательно соединяем \(R_0\) и \(R_1\) с источником и реостатом, реостат выводим на максимальное сопротивление (минимальный нагрев), а мультиметром на пределе 200 мВ поочерёдно, через переключатель, измеряем напряжения \(U_0\) на \(R_0\) и \(U_1\) на \(R_1\) (рис. 3).

Ток в последовательной цепи один: \(I=U_0/R_0=U_1/R_1\). Отсюда \[R_1=R_0\,\frac{U_1}{U_0}.\] Измерено \(U_1=349\) мВ, \(U_0=257\) мВ: \[R_1=0{,}51\cdot\frac{349}{257}\approx0{,}69\ \text{Ом}.\]

Пункт 1.4. Мультиметр в режиме омметра показывает сопротивление холодной лампочки \(R_{x0}=4{,}30\) Ом.

Пункт 1.5. Блок питания. Нужен источник с последовательно включённым реостатом: движок соединён с одним из концов обмотки, на рабочую схему идут свободный вывод источника и вывод реостата (рис. 4). Перемещая движок, меняем сопротивление всей цепи от максимального (минимальный ток) до нуля (максимальный ток, ограниченный лишь сопротивлениями \(R_x\), \(R_1\) и источника).

Пункты 1.6 и 1.7. Измерения и ВАХ. Для каждого положения движка переключателем измеряем \(U_1\) и \(U_x\) (источник не отключаем, подождав 20–30 с). Ток в цепи и все остальные величины считаем так: \[I_x=\frac{U_1}{R_1},\qquad R_x=\frac{U_x}{I_x},\qquad \Delta R_x=R_x-R_{x0},\qquad P_x=U_xI_x.\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline U_1,\ \text{мВ} & U_x,\ \text{В} & I_x,\ \text{мА} & R_x,\ \text{Ом} & \Delta R_x,\ \text{Ом} & P_x,\ \text{мВт} \\ \hline 45{,}8 & 0{,}59 & 66{,}13 & 8{,}92 & 4{,}62 & 39{,}0 \\ 51{,}6 & 0{,}74 & 74{,}51 & 9{,}93 & 5{,}63 & 55{,}1 \\ 58{,}0 & 0{,}93 & 83{,}75 & 11{,}10 & 6{,}80 & 77{,}9 \\ 64{,}0 & 1{,}11 & 92{,}41 & 12{,}01 & 7{,}71 & 102{,}6 \\ 68{,}0 & 1{,}22 & 98{,}19 & 12{,}43 & 8{,}13 & 119{,}8 \\ 75{,}0 & 1{,}45 & 108{,}29 & 13{,}39 & 9{,}09 & 157{,}0 \\ 86{,}0 & 1{,}81 & 124{,}18 & 14{,}58 & 10{,}28 & 224{,}8 \\ 94{,}8 & 2{,}26 & 136{,}88 & 16{,}51 & 12{,}21 & 309{,}4 \\ 100{,}0 & 2{,}49 & 144{,}39 & 17{,}24 & 12{,}94 & 359{,}5 \\ 111{,}0 & 2{,}94 & 160{,}27 & 18{,}34 & 14{,}04 & 471{,}2 \\ 125{,}0 & 3{,}59 & 180{,}49 & 19{,}89 & 15{,}59 & 648{,}0 \\ \hline \end{array}\] Таблица 1. Измерения и расчёт для лампочки

ВАХ \(I(U_x)\) (рис. 5) — кривая, загибающаяся к оси напряжений: с ростом напряжения ток растёт всё медленнее. Для постоянного сопротивления график был бы прямой (штрих).

Пункт 1.8. Зависимость \(\Delta R_x(P)\).

Пункт 1.9. Вывод. Если бы оба предположения выполнялись, по формуле из начала решения график был бы прямой. Получена кривая, загибающаяся вниз: наклон \(\Delta R_x/P\) падает от \(0{,}06\) Ом/мВт в начале до \(0{,}009\) Ом/мВт в конце, то есть почти в семь раз. Предположения не подтверждаются: хотя бы одно из них неверно. У раскалённой нити потери тепла растут быстрее, чем линейно по перегреву (излучение \(\propto T^4\), добавляется конвекция), поэтому для одной и той же прибавки температуры нужна всё большая мощность.

Часть 2. Маломощный резистор.

Пункт 2.1. Вывод формулы для моста. Сопротивление \(R_1'=R_1+\Delta R_1\) и \(R_0\) составляют одну ветвь, две части реостата \(R_{\text{л}}\) и \(R_{\text{п}}\) — вторую (рис. 7). Сопротивление реостата (22 кОм) на три-четыре порядка больше сопротивлений резисторов, поэтому он почти не влияет на ток в первой ветви. Обе ветви подключены к одному напряжению \(U\).

Потенциалы точек \(a\) и \(b\) отсчитаем от левого узла. Делитель из \(R_1'\) и \(R_0\) даёт \(\varphi_a=U\,\dfrac{R_1'}{R_1'+R_0}\), делитель из частей реостата — \(\varphi_b=U\,\dfrac{R_{\text{л}}}{R_{\text{л}}+R_{\text{п}}}\). При балансировке (\(\Delta U=0\), \(\Delta R_1=0\)) \(\dfrac{R_{\text{л}}}{R_{\text{л}}+R_{\text{п}}}=\dfrac{R_1}{R_1+R_0}\), и положение движка больше не меняют. Тогда \[\begin{aligned}\Delta U&=\varphi_a-\varphi_b=U\left(\frac{R_1+\Delta R_1}{R_1+\Delta R_1+R_0}-\frac{R_1}{R_1+R_0}\right)\\&=\frac{U\,R_0\,\Delta R_1}{(R_1+R_0)(R_1+\Delta R_1+R_0)}. \end{aligned}\] Напряжение на эталоне \(U_0=\dfrac{U\,R_0}{R_1+\Delta R_1+R_0}\), и \(U\) сокращается: \[\Delta U=\frac{U_0}{R_1+R_0}\,\Delta R_1.\] Это точное соотношение, не требующее малости \(\Delta R_1\). Формула (1) условия отличается от него заменой \(R_1+R_0\) на \(R_0\), то есть постоянным множителем \(\dfrac{R_1+R_0}{R_0}\approx2{,}4\). В условии сказано обрабатывать результаты по (1), так и поступаем; множитель общий для всех точек и лишь растягивает ось \(\Delta R_1\) — на форму графика и вывод он не влияет (в таблице оба варианта).

Обратите внимание. Если \(R_1=R_0\) и \(\Delta R_1\ll R_1\), точное соотношение даёт \(\Delta U=U\,\Delta R_1/(4R_1)\) — привычное выходное напряжение моста при изменении одного плеча.

Пункты 2.2 и 2.3. Измерения и обработка. Устанавливаем разные токи блока питания и каждый раз измеряем \(U_0\) и \(\Delta U\). Ток через \(R_1\) равен току через \(R_0\): \(I=U_0/R_0\). По (1) \[\Delta R_1=\frac{R_0\,\Delta U}{U_0},\qquad P=I^2\,(R_1+\Delta R_1)=\left(\frac{U_0}{R_0}\right)^{2}(R_1+\Delta R_1).\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline U_0,\ \text{мВ} & \Delta U,\ \text{мВ} & \Delta R_1\ \text{по (1)},\ \text{мОм} & \Delta R_1\ \text{точно},\ \text{мОм} & P,\ \text{мВт} \\ \hline 49 & 1{,}0 & 10{,}4 & 24{,}5 & 6{,}5 \\ 129 & 3{,}2 & 12{,}7 & 29{,}8 & 45{,}1 \\ 170 & 4{,}8 & 14{,}4 & 34{,}0 & 78{,}6 \\ 236 & 7{,}8 & 16{,}9 & 39{,}7 & 151{,}9 \\ 316 & 12{,}8 & 20{,}7 & 48{,}7 & 273{,}8 \\ 382 & 20{,}0 & 26{,}7 & 63{,}0 & 403{,}5 \\ 429 & 25{,}2 & 30{,}0 & 70{,}6 & 511{,}2 \\ 558 & 48{,}7 & 44{,}5 & 105{,}0 & 882{,}4 \\ 675 & 78{,}0 & 58{,}9 & 139{,}0 & 1316{,}4 \\ \hline \end{array}\] Таблица 2. Измерения и расчёт для резистора

Пункт 2.4. Вывод. Точки отклоняются от прямой не более чем на 1 мОм при изменении мощности от 6 до 1300 мВт (в 200 раз). Зависимость \(\Delta R_1(P)\) линейна, значит, оба предположения согласуются с опытом: сопротивление резистора линейно растёт с температурой, а мощность потерь пропорциональна перегреву — в отличие от лампочки, у которой нить раскаляется намного сильнее. Прямая отсекает на оси около 11 мОм: возможная причина — неточная балансировка моста; на вывод это не влияет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.