Влияние вращения Земли?

Стержень на двух скрученных нитях раскручивается не равноускоренно: проверьте два закона, построив время как функцию числа оборотов в подходящей степени, и выберите тот, при котором точки ложатся на прямую.

1.4) точнее описывает закон \(k=Bt^{3/2}\) (до \(N\approx20\) по часовой стрелке и до \(N\approx15\) против); 1.5) против часовой \(B=0{,}31\), по часовой \(B=0{,}19\); 1.6) законы вращения в разные стороны различаются; 1.7) \(\omega\approx 5{,}1\) и \(8{,}2\) с\(^{-1}\) для стержня, \(\omega_\text{З}\approx5{,}0\cdot10^{-5}\) с\(^{-1}\); 1.8) вращение Земли не влияет; 1.9) причина — изначальная скрученность нитей; 2.3) \(\gamma\approx0{,}3\).

Что происходит. Нити, скрутившись в жгут, поднимают стержень и хранят запас закрутки. После отпускания стержень раскручивает нити и разгоняется, но тем слабее, чем меньше осталось закрутки. Поэтому ускорение не постоянно, и закон \(k\propto t^2\) нужно проверять, а не предполагать. Проверка — линеаризация: подбираем такую функцию \(f(k)\), чтобы при верном законе точки \((f(k),\,t_k)\) лежали на прямой, проходящей через начало координат.

Обозначения. \(k\) — число оборотов от старта (\(N_0=30\)), \(t_k\) — время, за которое сделано \(k\) оборотов. Число оборотов закрутки, ещё не раскрученных, \(N=30-k\) (рис. 2). Все числа ниже — результаты образцового выполнения работы (по две серии в каждую сторону, берём средние).

Пункты 1.1 и 1.2. Измерения и законы движения. Секундомер с памятью этапов запускают в момент, когда стержень повернулся на половину оборота и занял положение (3), и нажимают кнопку этапа через каждые три оборота. Результаты — в таблице 1. В последних столбцах — значения \(f_1=\sqrt{k}\) и \(f_2=k^{2/3}\), смысл которых объяснён в п. 1.3.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & t_k\ \text{(против часовой), с} & t_k\ \text{(по часовой), с} & f_1=\sqrt{k} & f_2=k^{2/3} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 5{,}66 & 4{,}17 & 1{,}732 & 2{,}080 \\ 6 & 9{,}45 & 6{,}94 & 2{,}449 & 3{,}302 \\ 9 & 12{,}81 & 9{,}28 & 3{,}000 & 4{,}327 \\ 12 & 15{,}97 & 11{,}37 & 3{,}464 & 5{,}241 \\ 15 & 19{,}12 & 13{,}43 & 3{,}873 & 6{,}082 \\ 18 & 22{,}28 & 15{,}37 & 4{,}243 & 6{,}868 \\ 21 & 25{,}60 & 17{,}36 & 4{,}583 & 7{,}612 \\ 24 & 28{,}92 & 19{,}39 & 4{,}899 & 8{,}320 \\ 27 & 32{,}66 & 21{,}34 & 5{,}196 & 9{,}000 \\ 30 & 36{,}76 & 23{,}39 & 5{,}477 & 9{,}655 \\ \hline \end{array}\] Таблица 1. Результаты измерений

Графики \(k(t)\) для обоих направлений (рис. 3) — кривые, загибающиеся к оси времени: за равные промежутки времени стержень делает всё больше оборотов, но разгон замедляется. Вращение по часовой стрелке заметно быстрее: 30 оборотов за 23,4 с против 36,8 с.

Пункт 1.3. Какие функции \(f(k)\) проверять. Если верна модель (1), то \[t=\frac{1}{\sqrt{A}}\sqrt{k},\] поэтому берём \(f_1(k)=\sqrt{k}\): график \(t(f_1)\) должен быть прямой через начало координат. Если верна модель (2), то \[t=\left(\frac{k}{B}\right)^{2/3}=B^{-2/3}k^{2/3},\] поэтому берём \(f_2(k)=k^{2/3}=\sqrt[3]{k^2}\).

Точки для \(f_1\) лежат на выпуклых кривых, заметно прогибающихся вниз относительно хорды: прямой нет ни в одном из двух направлений. Закон (1) не подтверждается.

Пункт 1.4. Какой закон точнее. Закон (2): на графике \(t(f_2)\) точки в начале движения хорошо ложатся на прямую через начало координат, а на графике \(t(f_1)\) ни одна часть точек прямой не образует. Это и логично: показатель степени, найденный по первым точкам, \(t\propto k^{0{,}73}\), ближе к \(2/3\), чем к \(1/2\). Диапазон применимости: точки отклоняются от прямой меньше чем на 5–6 % при вращении против часовой стрелки до \(k\approx15\), то есть для \(N\) от 30 до \(\approx15\); по часовой стрелке — до \(k\approx21\), то есть для \(N\) от 30 до \(\approx9\). Дальше движение быстрее закона (2): \(t\) растёт с \(k\) почти линейно, угловая скорость почти постоянна. Первая точка (\(k=3\)) слегка выпадает из-за неточного момента старта.

Пункт 1.5. Коэффициенты. Из \(t=a\,f_2\) следует \(a=B^{-2/3}\), откуда \(B=a^{-3/2}\). Наклон \(a\) находим по основной прямой через начало координат, а границы \(a_{\min}\), \(a_{\max}\) — по двум прямым, между которыми лежат точки рабочего диапазона (рис. 5). Погрешность степенной функции: \[\Delta B=\frac32\,B\,\frac{\Delta a}{a}.\]

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline & a & B=a^{-3/2} \\ \hline \text{против часовой стрелки} & 3{,}0\pm0{,}2 & 0{,}19\pm0{,}02 \\ \text{по часовой стрелке} & 2{,}2\pm0{,}1 & 0{,}31\pm0{,}02 \\ \hline \end{array}\]

Пункт 1.6. Различаются ли законы. Да: коэффициенты \(0{,}19\pm0{,}02\) и \(0{,}31\pm0{,}02\) различаются в 1,6 раза, а разность 0,12 в несколько раз больше погрешности каждого из них. Основной вывод: стержень раскручивается по одному закону \(k=Bt^{3/2}\), но с разными коэффициентами в разные стороны.

Пункт 1.7. Угловые скорости. За \(k\) оборотов стержень поворачивается на угол \(2\pi k\), поэтому средняя угловая скорость за всё движение (\(k=30\)) \[\langle\omega\rangle=\frac{2\pi k}{t_k},\qquad \omega_{\text{против}}=\frac{2\pi\cdot30}{36{,}76\ \text{с}}\approx5{,}1\ \text{с}^{-1},\qquad \omega_{\text{по}}=\frac{2\pi\cdot30}{23{,}39\ \text{с}}\approx8{,}1\ \text{с}^{-1}.\] Для Земли период — сутки \(T_\oplus=86\,400\) с: \[\Omega=\frac{2\pi}{T_\oplus}\approx7{,}3\cdot10^{-5}\ \text{с}^{-1}.\]

Пункт 1.8. Влияет ли вращение Земли. Нет. Угловая скорость стержня в \(7\cdot10^{4}\)–\(10^{5}\) раз больше угловой скорости Земли, так что возможная поправка порядка \(\Omega/\omega\sim10^{-5}\), а законы в разные стороны отличаются на десятки процентов (\(B\) отличается в 1,6 раза).

Пункт 1.9. Причина различия. Нити были скручены ещё до опыта. Эта собственная закрутка складывается с закруткой, созданной рукой, при одном направлении и вычитается из неё при другом, так что эффективное число оборотов, по которому нити сопротивляются, в двух направлениях разное. Установка симметрична, и без собственной закрутки нитей законы совпали бы.

Обратите внимание. Выбирая функции \(f(k)\), мы не подгоняем кривую, а превращаем проверяемый закон в прямую: прямую через начало координат легко оценить на глаз, а кривую — нет.

Часть 2. Время раскручивания.

Пункт 2.1. Измерения. Стержень закручивают на \(N=5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25\) оборотов, отпускают без начальной скорости и измеряют время \(T\) до прихода в нижнее положение; в каждой точке — две серии (таблица 2). В последних столбцах — нормированные величины для п. 2.3 (\(N_{\max}=25\), \(T_{\max}=34{,}71\) с).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline N & T_1,\ \text{с} & T_2,\ \text{с} & \langle T\rangle,\ \text{с} & N/N_{\max} & T/T_{\max} \\ \hline 5 & 21{,}42 & 21{,}32 & 21{,}37 & 0{,}20 & 0{,}62 \\ 10 & 26{,}59 & 26{,}56 & 26{,}57 & 0{,}40 & 0{,}77 \\ 15 & 30{,}13 & 30{,}08 & 30{,}11 & 0{,}60 & 0{,}87 \\ 20 & 32{,}62 & 32{,}52 & 32{,}57 & 0{,}80 & 0{,}94 \\ 25 & 34{,}71 & 34{,}71 & 34{,}71 & 1{,}00 & 1{,}00 \\ \hline \end{array}\] Таблица 2. Время полного раскручивания

Пункт 2.2. Погрешность. Для \(N=10\) выполнено шесть измерений: \(26{,}59;\ 26{,}47;\ 26{,}61;\ 26{,}56;\ 26{,}53;\ 26{,}42\) с. Среднее \(\langle T\rangle=26{,}53\) с. Погрешность среднего оцениваем как среднеквадратичное отклонение среднего: \[\Delta T=\sqrt{\frac{\sum_{i}(T_i-\langle T\rangle)^2}{n(n-1)}}=\sqrt{\frac{0{,}0266}{30}}\approx0{,}03\ \text{с},\qquad T=(26{,}53\pm0{,}03)\ \text{с}.\]

Пункт 2.3. Показатель степени. Запишем функцию (3) для двух значений и поделим: \(\dfrac{T}{T_{\max}}=\left(\dfrac{N}{N_{\max}}\right)^{\gamma}\). Так мы избавились от неизвестной константы \(A\): в нормированных координатах \(x=N/N_{\max}\), \(y=T/T_{\max}\) график \(y=x^{\gamma}\) проходит через точку \((1;\,1)\), а форма кривой зависит только от \(\gamma\). Нанесём на бланк с семейством кривых \(y=x^{\gamma}\) точки \((N/N_{\max},\,T/T_{\max})\) из таблицы 2 и посмотрим, у какой кривой они лежат ближе всего (рис. 6).

Точки идут вдоль кривой \(\gamma=0{,}3\). Частные значения \(\gamma=\dfrac{\ln(T/T_{\max})}{\ln(N/N_{\max})}\) по четырём точкам равны \(0{,}30;\ 0{,}29;\ 0{,}28;\ 0{,}29\). Наклон графика в логарифмических координатах (метод наименьших квадратов) даёт \(\gamma=0{,}30\) и \(A=T_{\max}/N_{\max}^{\gamma}\approx13\) с (рис. 7).

\[\gamma\approx0{,}3\]

Время раскручивания растёт с \(N\) очень медленно: увеличение числа оборотов в 5 раз удлиняет раскручивание лишь в 1,6 раза.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.