Неламповый диод

Нулевой ток через амперметр — условие баланса моста: статическое сопротивление \(U/I\) того, что подключено к \(A\) и \(B\), должно равняться \(R_1R_2/R_3\), а ток через него пропорционален \(I_0\). Для последовательных лампы и диода это условие — квадратное уравнение относительно \(\sqrt{I}\); пригодится теорема Виета.

Пусть сила тока источника равна \(I_0\). Показания амперметра равны нулю при сбалансированном мосте, сила тока через резистор \(R_2\) (и через нелинейный элемент, подключённый к точкам \(A\) и \(B\)) равна: \[I_{AB} = I_0\frac{R_3}{R_2 + R_3}.\] Сила тока через резисторы \(R_1\) и \(R_3\) равна: \[I_1 = I_3 = I_0\frac{R_2}{R_2 + R_3}.\] Тогда напряжение между точками \(A\) и \(B\) равно: \[U_{AB} = I_0\frac{R_2R_1}{R_2 + R_3}.\] Введём статическое сопротивление нелинейного элемента, подключённого к точкам \(A\) и \(B\): \[R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I_{AB}},\] где \(I_{AB}\) — сила тока, протекающего через элементы, подключённые к точкам \(A\) и \(B\). В таком случае, показания амперметра равны нулю, если \(R_{AB}R_3 = R_1R_2\). Вольтамперные характеристики лампы и диода задаются соотношениями: \[I_\text{л} = \alpha U_\text{л}^{2/3}, \quad I_\text{д} = \beta U_\text{д}^2,\] или, выражая напряжение через ток: \[U_\text{л} = \frac{I_\text{л}^{3/2}}{\alpha^{3/2}}, \quad U_\text{д} = \frac{\sqrt{I_\text{д}}}{\sqrt\beta}.\] Статическое сопротивление лампы и диода соответственно равны: \[R_\text{л} = \frac{U_\text{л}}{I_\text{л}} = \frac{I_\text{л}^{1/2}}{\alpha^{3/2}}; \quad R_\text{д} = \frac{U_\text{д}}{I_\text{д}} = \frac{1}{\sqrt{I_\text{д}\beta}}.\] Тогда при их последовательном соединении сопротивление выражается следующим образом: \[R_{AB} = R_\text{л} + R_\text{д} = \frac{\sqrt{I_{AB}}}{\alpha^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{\beta I_{AB}}}.\] Это уравнение сводится к квадратному, для решения которого используем теорему Виета: \[I_{AB} - R_{AB}\alpha^{3/2}\sqrt{I_{AB}} + \frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt\beta} = 0;\] \[\sqrt{I_{AB1}I_{AB2}} = \frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt\beta}, \quad \sqrt{I_{AB1}} + \sqrt{I_{AB2}} = \alpha^{3/2}R_{AB}.\] Так как \[I_{AB1} = I_{01}\frac{R_3}{R_2 + R_3}, \quad I_{AB2} = I_{02}\frac{R_3}{R_2 + R_3},\] то \[\alpha^{3/2} = \frac{\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}}{R_{AB}}\sqrt{\frac{R_3}{R_2 + R_3}}, \quad \sqrt\beta = \frac{\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}}{\sqrt{I_{01}I_{02}}\,R_{AB}}\sqrt{\frac{R_2 + R_3}{R_3}}.\] Статическое сопротивление лампы равно \(R_{AB} = R_1R_2/R_3\) при силе тока через неё: \[I_\text{л} = \frac{R_3}{R_2 + R_3}\left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2.\] Тогда ток через источник: \[I_{03} = \left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2.\] Статическое сопротивление диода равно \(R_{AB} = R_1R_2/R_3\) при силе тока через него: \[I_\text{д} = \frac{R_3}{R_2 + R_3}\,\frac{I_{01}I_{02}}{\left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2}.\] Тогда ток через источник: \[I_{04} = \frac{I_{01}I_{02}}{\left(\sqrt{I_{01}} + \sqrt{I_{02}}\right)^2}.\]