Выцветшие фокусы линзы

Где окажется изображение источника, стоящего на двойном фокусе? Если источник и изображение на одинаковом расстоянии от линзы, ход луча симметричен относительно её плоскости — отразите одну из точек.

Из рисунка видно, что линза собирающая, тогда по формуле тонкой линзы \[\frac1F = \frac1{2F} + \frac1r,\] где \(r\) — расстояние от изображения источника, которое находится тоже на главной оптической оси, до линзы.

Находим \(r = \left(\dfrac1F - \dfrac1{2F}\right)^{-1} = 2F > 0\). Т. е. изображение находится на другой стороне от линзы на расстоянии \(2F\) от неё — на том же расстоянии, что и источник.

Если \(X\) — источник, то \(Y\) — изображение источника. Если \(Y\) — источник, то \(X\) — его изображение.

\(OX = OY \Rightarrow \triangle XYZ\) равнобедренный \(\Rightarrow\) точка \(B'\), симметричная \(B\) относительно плоскости линзы, лежит на другой стороне \(\triangle XYZ\) — стороне \(XZ\).

Следовательно, следующий ряд построений отвечает на вопросы задачи:

1. Отражаем точку \(B\) относительно плоскости линзы и получаем точку \(B'\) (альтернативно можно так же поступить и с точкой \(A\)).

2. Проводим прямую \(AB'\). Она пересекает главную оптическую ось в точке \(X\). Получаем положение источника (или изображения) \(X\) на двойном фокусе.

3. Середина отрезка \(OX\) — первый фокус линзы.

4. Отражаем в плоскости линзы фокус, построенный в пункте 3, и получаем второй фокус.