Система брусков с трением

Пусть сила трения, направленная на правый брусок, равна \(f_1\), сила трения, направленная на левый брусок, — \(f_2\), а натяжение верёвки — \(T\). Построение диаграммы сил даёт четыре уравнения (два маленьких бруска имеют одинаковые ускорения, поскольку связаны одной верёвкой): \[F-f_1 = Ma_1,\qquad f_1-T = ma_2,\qquad f_2 = Ma_3,\qquad T-f_2 = ma_2.\] Мы рассматриваем четыре варианта: все тела движутся вместе; самый правый брусок движется отдельно; все три составляющие движутся отдельно; левый брусок движется отдельно.

Случай 1 (все тела движутся вместе, \(a_1 = a_2 = a_3\)). Поскольку все тела движутся вместе, у них одинаковое ускорение, и уравнения принимают вид \[F-f_1 = Ma,\qquad f_1-T = ma,\qquad f_2 = Ma,\qquad T-f_2 = ma.\] Подставляя третье уравнение в четвёртое, получаем \(T = (m+M)a\). Подставляя результат для натяжения во второе уравнение, получаем \(f_1 = (2m+M)a\). Взяв этот результат и подставив в первое уравнение, получаем \[F = 2(m+M)a,\qquad a = \frac F{2(m+M)}.\] Из первого уравнения заметим, что \(F-Ma = f_1\le\mu mg\). Подставляя выражение для ускорения, получаем \[F-M\frac F{2(m+M)}\le\mu mg,\qquad F\Bigl(\frac{M+2m}{2(m+M)}\Bigr)\le\mu mg,\] \[\boxed{F\le2\mu mg\frac{m+M}{m+2M}}.\]

Случай 2 (самый правый брусок движется отдельно, \(a_2 = a_3\), \(f_1 = \mu mg\)). В этом случае уравнения таковы: \[F-\mu mg = Ma_1,\quad \mu mg-T = ma_2,\quad f_2 = Ma_2,\quad T-f_2 = ma_2.\] Отсюда находим \[\boxed{a_1 = \frac{F-\mu mg}M},\qquad \boxed{a_2 = \frac{\mu mg}{M+2m}}.\] Чтобы брусок двигался, должно быть \(Ma_2\le\mu mg\), т. е. \(\frac{\mu mMg}{M+2m}\le\mu mg\), откуда \(\frac M{M+2m}\le1\). Это выполняется, поскольку знаменатель больше числителя. Итак, из случая 1 следует: если сила \(F\le2\mu mg\frac{m+M}{m+2M}\), то ускорение равно \(a = \frac F{2(m+M)}\); если сила не удовлетворяет этому условию, ускорения — те, что мы нашли выше.

Случай 3 (все три составляющие движутся отдельно, \(a_1\ne a_2\ne a_3\)). Если \(a_1\ne a_2\ne a_3\), то \(f_1 = \mu mg\) и \(f_2 = \mu mg\). Глядя на систему уравнений, находим, что \(a_2 = 0\), что невозможно.

Случай 4 (левый брусок движется отдельно, \(a_1 = a_2\), \(f_2 = \mu mg\)). Система уравнений тогда такова: \[F-f_1 = Ma_1,\quad f_1-T = ma_1,\quad \mu mg = Ma_3,\quad T-\mu mg = ma_1.\] Решая эти уравнения, получаем \(a_1 = \frac{F-\mu mg}{M+2m}\). Подставляя обратно в первое уравнение, получаем \[F-M\frac{F-\mu mg}{M+2m}\le\mu mg.\] Умножая крест-накрест, получаем \[(M+2m)F-M(F-\mu mg)\le\mu mg(M+2m).\] Решая это неравенство, получаем \(F\le\mu mg\), что невозможно, поскольку это означало бы \(a_1\le0\).