зад 1 Шарик на нити, поднимающийся не выше точки подвеса
Маленький шарик массой \(m\) висит неподвижно на невесомой нерастяжимой нити длиной \(l\). Шарику толчком сообщают такую горизонтальную скорость, что он в итоге поднимается над начальной точкой на максимальную высоту \(h_0 < l\). Найдите силу натяжения нити в момент, когда шарик находился на высоте \(h = h_0/2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Из закона сохранения энергии найдите скорость шарика на высоте \(h\). Затем запишите второй закон Ньютона вдоль нити.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(\varphi\) — угол отклонения нити от вертикали. Из уравнений \[\frac{mv^2}{2} = mg(h_0 - h), \qquad T - mg\cos\varphi = \frac{mv^2}{l}, \qquad \cos\varphi = \frac{l-h}{l}\] получаем зависимость силы натяжения нити \(T\) от высоты \(h\): \[T = mg\,\frac{l + 2h_0 - 3h}{l}.\] При \(h = \dfrac{1}{2}h_0\) имеем \[T = mg\left(1 + \frac{h_0}{2l}\right).\]
зад 2 Трубка с жидкостью движется с ускорением
Изогнутая трубка состоит из горизонтального колена длиной \(l\), запаянного с одного конца, и вертикального колена, открытого в атмосферу (см. рис.). Трубка заполнена водой так, что в вертикальном колене высота столба воды равна \(l/3\). Трубку двигают с ускорением \(a = g/5\), направленным вдоль горизонтального колена. Плотность воды \(\rho\), атмосферное давление \(P_0\). Диаметр трубки значительно меньше её длины.
Найдите давление в воде в месте изгиба трубки.
Найдите давление в воде у запаянного конца трубки.
▶ПодсказкаСкрыть
В вертикальном колене ускорение перпендикулярно оси, поэтому давление там гидростатическое. В горизонтальном колене рассмотрите столбик воды, на который действует разность давлений и который движется с ускорением \(a\).
▶РешениеСкрыть
1) \(P_1 = P_0 + \dfrac{1}{3}\rho gl\).
2) Мысленно выделенный столбик жидкости сечением \(S\) в горизонтальном колене имеет массу \(m = \rho Sl\). По второму закону Ньютона \(P_2S - P_1S = ma\), откуда \[P_2 = P_1 + \rho al = P_0 + \frac{8}{15}\rho gl.\]
зад 3 Цикл из изохор и адиабат: подведённое тепло
С \(\nu\) молями идеального одноатомного газа проводят прямой циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух адиабат. В процессе адиабатического расширения температура газа уменьшается на \(\Delta T_1\) (\(\Delta T_1 > 0\)), а в процессе адиабатического сжатия изменение температуры вдвое меньше. Сколько тепла подводится к газу при изохорическом нагревании, если при изохорическом охлаждении температура уменьшается на \(\Delta T_2\) (\(\Delta T_2 > 0\))?
▶ПодсказкаСкрыть
Обозначьте состояния цикла по порядку и выразите разности температур на каждом участке через \(\Delta T_1\) и \(\Delta T_2\). На изохорах тепло пропорционально изменению температуры.
▶РешениеСкрыть
Пусть 1–2 — адиабатическое расширение, 2–3 — изохорическое охлаждение, 3–4 — адиабатическое сжатие, 4–1 — изохорическое нагревание. Тогда \[Q_{41} = \nu\frac{3}{2}R(T_1 - T_4), \qquad T_1 - T_2 = \Delta T_1, \qquad T_4 - T_3 = \frac{1}{2}\Delta T_1, \qquad T_2 - T_3 = \Delta T_2.\] Отсюда \[Q_{41} = \frac{3}{4}\nu R(\Delta T_1 + 2\Delta T_2).\]
зад 4 Две параллельные катушки и конденсатор
В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыкания ключа ток в цепи отсутствовал, конденсатор был не заряжен. После замыкания ключа максимальное напряжение на конденсаторе равно \(U_0\).
Найдите ЭДС источника.
Найдите максимальный ток в катушке \(L_1\).
▶ПодсказкаСкрыть
Напряжения на параллельно соединённых катушках одинаковы в любой момент. Из этого следует сохранение некоторой комбинации токов в катушках, которая равна нулю в начале.
▶РешениеСкрыть
Напряжения на параллельно соединённых катушках всё время одинаковы: \(L_1I_1' = L_2I_2'\), или \((L_1I_1 - L_2I_2)' = 0\), откуда получаем, что величина \(L_1I_1 - L_2I_2\) остаётся постоянной. Так как в начальный момент токи в катушках отсутствовали, эта постоянная равна нулю, и, следовательно, в любой момент времени токи в катушках удовлетворяют условию \(L_1I_1 = L_2I_2\). Суммарная энергия катушек при этом равна \[W = \frac{L_1I_1^2}{2} + \frac{L_2I_2^2}{2} = \frac{L_1I_1^2}{2}\left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right).\]
1) При максимальном напряжении \(U_0\) на конденсаторе заряд конденсатора \(CU_0\), ток равен нулю. Закон сохранения энергии: \(CU_0\cdot\mathcal{E} = \dfrac{1}{2}CU_0^2\). Отсюда \(\mathcal{E} = \dfrac{U_0}{2}\).
2) При максимальном токе \(I_1\) через первую катушку он будет максимален и ток через вторую катушку. Напряжения на катушках в этот момент равны нулю, поэтому напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС источника. Из закона сохранения энергии \[C\mathcal{E}\cdot\mathcal{E} = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} + \frac{L_1I_{1m}^2}{2} \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right).\] Отсюда \[I_{1m} = \frac{U_0}{2}\sqrt{\frac{CL_2}{L_1(L_1 + L_2)}}.\]
зад 5 Изображение груза и вторая линза вплотную
Шарик, висящий на пружине, совершает вертикальные колебания, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фокусным расстоянием \(F_1 = 20\) см. На экране, который можно перемещать, получено изображение шарика. При этом максимальная скорость изображения оказалась в 2 раза больше максимальной скорости шарика.
Найдите расстояние между шариком и линзой.
Найдите фокусное расстояние \(F_2\) (\(F_2 < 0\)) рассеивающей линзы, которую надо поместить вплотную к собирающей линзе, чтобы максимальная скорость изображения увеличилась в 3 раза по сравнению с предыдущей.
▶ПодсказкаСкрыть
Используйте формулу тонкой линзы и поперечное увеличение \(\Gamma = f/d\). Для двух линз, стоящих вплотную, складываются оптические силы \(1/F\).
▶РешениеСкрыть
1) Начальное поперечное увеличение \(\Gamma_1 = 2\). \[\frac{1}{d} + \frac{1}{\Gamma_1 d} = \frac{1}{F_1} \quad\Rightarrow\quad d = F_1\frac{\Gamma_1 + 1}{\Gamma_1} = 30~\text{см}.\]
2) Конечное поперечное увеличение \(\Gamma_2 = 3\cdot 2 = 6\). \[\frac{1}{d} + \frac{1}{\Gamma_2 d} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} \quad\Rightarrow\quad F_2 = F_1\frac{(\Gamma_1 + 1)\Gamma_2}{\Gamma_1 - \Gamma_2} = -90~\text{см}.\]
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2011/12, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.