зад 1 Брусок на тележке, прижатой к упору
На горизонтальной поверхности стола находится тележка. На шероховатой горизонтальной поверхности тележки находится брусок, прикреплённый к тележке лёгкой упругой пружиной (см. рис.). Масса тележки в \(3\) раза больше массы бруска. Брусок отклоняют влево так, что удлинение пружины равно \(x\), а тележка прижата к упору. Затем брусок отпускают.
Найдите деформацию пружины в момент отрыва тележки от упора.
Найдите скорость бруска в момент отрыва тележки от упора.
Найдите скорость тележки после прекращения движения по ней бруска.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то деформация пружины равна \(2x\). Если брусок тащить по неподвижной тележке с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к прикреплённой к бруску пружине, то деформация пружины равна \(\dfrac{2x}{3}\). Массой колёс тележки и трением в их осях пренебречь. Деформация \(x\) пружины меньше длины пружины в ненапряжённом состоянии.
▶ПодсказкаСкрыть
Отрыв тележки происходит, когда сила упругости пружины сравняется с силой трения. Дальше пригодятся закон сохранения энергии для бруска и закон сохранения импульса для системы бруска и тележки.
▶ОтветСкрыть
1) \(x_{\text{отр}} = \dfrac{2}{3}x\); 2) \(V = \dfrac{\sqrt{2}}{6}\sqrt{gx}\); 3) \(u = \dfrac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{gx}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(k\) — жёсткость пружины, \(m\) — масса бруска. По условию сила трения \(F_{\text{тр}} = k\dfrac{2}{3}x\), \(mg = 2kx\).
1) Отрыв наступит, когда уменьшающаяся сила упругости пружины сравняется с силой трения: \(kx_{\text{отр}} = k\dfrac{2}{3}x\). Отсюда деформация пружины при отрыве \(x_{\text{отр}} = \dfrac{2}{3}x\).
2) По ЗСЭ \(\dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}kx_{\text{отр}}^2 + \dfrac{1}{2}mV^2 + F_{\text{тр}}(x - x_{\text{отр}})\). С учётом выражений для \(F_{\text{тр}}\), \(mg\) и \(x_{\text{отр}}\) получаем скорость бруска при отрыве тележки \(V = \dfrac{\sqrt{2}}{6}\sqrt{gx}\).
3) По ЗСИ \(mV = (3m + m)u\). Скорость тележки \(u = \dfrac{1}{4}V = \dfrac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{gx}\).
зад 2 Поршень, вода с паром и азот при 100 °C
Тяжёлый подвижный поршень площадью \(S = 10\) см\(^2\) делит объём вертикально расположенного цилиндра на \(2\) равные части объёмом \(V_0 = 1\) л каждая. Над поршнем находится вода и водяной пар общей массой \(m = 2\) г, под поршнем — \(m_1 = 2\) г азота. Температура в цилиндре \(100\,^\circ\text{C}\). Принять \(g = 10\) м/с\(^2\), молярные массы азота и воды \(\mu_{\text{а}} = 28\) г/моль и \(\mu_{\text{в}} = 18\) г/моль, плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\).
Найдите массу \(M\) поршня.
Какую часть объёма \(V_0\) занимает жидкая вода?
▶ПодсказкаСкрыть
Для азота запишите уравнение состояния с учётом давления поршня. Для пара над водой учтите, что часть объёма занята жидкостью, а пар насыщенный при данной температуре.
▶ОтветСкрыть
1) \(M \approx 12\) кг; 2) \(\alpha \approx 1{,}4\cdot10^{-3}\).
▶РешениеСкрыть
1) Уравнение состояния для азота \(\left(P + \dfrac{Mg}{S}\right)V_0 = \dfrac{m_1}{\mu_{\text{а}}}RT\). Здесь \(P \approx 10^5\) Па. Отсюда \(M = \dfrac{S}{g}\left(\dfrac{m_1RT}{\mu_{\text{а}}V_0} - P\right) \approx 12\) кг.
2) Для пара \(PV_0 = \dfrac{m - \alpha V_0\rho}{\mu_{\text{в}}}RT\), где \(\alpha\) — доля объёма \(V_0\), занимаемая водой. Отсюда \(\alpha = \dfrac{1}{V_0\rho}\left(m - \dfrac{PV_0\mu_{\text{в}}}{RT}\right) \approx 1{,}4\cdot10^{-3}\).
зад 3 Генератор или мотор: баланс мощностей
Для подзарядки аккумулятора используется динамомашина (генератор) с сопротивлением обмотки ротора \(R = 1\) Ом. Человек вращает ручку динамомашины с частотой \(n = 1\) об/с, прикладывая к ней силу \(F = 20\) Н на расстоянии \(\rho = 8\) см от оси вращения вдоль направления движения ручки. Через аккумулятор идёт ток \(I = 1\) А. Из-за трения в механизмах динамомашины теряется \(20\) % затрачиваемой человеком мощности. Считать, что ротор вращается между полюсами постоянного магнита.
Какую мощность затрачивает человек?
Найдите напряжение на зажимах динамомашины.
▶ПодсказкаСкрыть
Мощность силы, приложенной к ручке, равна произведению силы на скорость точки приложения. Запишите баланс мощностей: часть теряется на трение, часть — на нагрев обмотки и на зарядку аккумулятора.
▶ОтветСкрыть
1) \(P = 2\pi n\rho F \approx 10\) Вт; 2) \(U \approx 7\) В.
▶РешениеСкрыть
1) Скорость ручки \(V = 2\pi n\rho\). Мощность человека \(P = FV = 2\pi n\rho F \approx 10\) Вт.
2) По ЗСЭ \(P = 0{,}2P + I^2R + UI\). Отсюда напряжение на зажимах динамомашины \(U = \dfrac{0{,}8P - I^2R}{I} \approx 7\) В.
зад 4 Тепло после размыкания в цепи с конденсатором
В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать идеальными, известные параметры элементов указаны на рисунке, неизвестная ЭДС меньше \(\mathcal{E}\). Ключ замыкают и дожидаются установления стационарного режима. Затем ключ размыкают, после чего в схеме выделяется количество теплоты, равное \(\dfrac{1}{18}C\mathcal{E}^2\).
Какое количество теплоты выделилось в резисторе \(3R\) после размыкания ключа?
Найдите силу тока, протекавшего в схеме в стационарном режиме.
▶ПодсказкаСкрыть
После размыкания напряжение на конденсаторе становится равным ЭДС источника. Выделившаяся теплота равна части энергии конденсатора, а распределение тепла между резисторами определяется сопротивлениями.
▶ОтветСкрыть
1) \(Q_{3R} = \dfrac{1}{24}C\mathcal{E}^2\); 2) \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{3R}\).
▶РешениеСкрыть
1) \(Q_{3R} = \dfrac{1}{18}C\mathcal{E}^2\cdot\dfrac{3R}{3R + R} = \dfrac{1}{24}C\mathcal{E}^2\).
2) Пусть при замкнутом ключе ток в цепи \(I\), а заряд верхней обкладки конденсатора \(q_1\). Тогда \(\mathcal{E} - \dfrac{q_1}{C} = IR\). Отсюда \(q_1 = C(\mathcal{E} - IR)\). После размыкания ключа в установившемся режиме напряжение на конденсаторе \(\mathcal{E}\), заряд верхней обкладки \(C\mathcal{E}\). Работа источника \(A = (C\mathcal{E} - q_1)\mathcal{E} = CIR\mathcal{E}\). Изменение энергии конденсатора \(\Delta W_C = \dfrac{C\mathcal{E}^2}{2} - \dfrac{q_1^2}{2C} = CIR\mathcal{E} - \dfrac{CI^2R^2}{2}\). По ЗСЭ \(A = \Delta W_C + Q\), где \(Q = \dfrac{1}{18}C\mathcal{E}^2\). С учётом выражений для \(A\) и \(\Delta W_C\) получаем \(\dfrac{C(IR)^2}{2} = Q\). Отсюда \(I = \sqrt{\dfrac{2Q}{CR^2}} = \dfrac{\mathcal{E}}{3R}\).
зад 5 Монета на дне мензурки: преломление и фотоснимок
Для определения показателя преломления неизвестной прозрачной жидкости экспериментатор Глюк положил на дно мензурки монету и налил в неё исследуемую жидкость. Толщина слоя жидкости \(H = 27\) см. Далее он сфотографировал монету с высоты \(h = 37\) см над поверхностью жидкости и получил резкое изображение, диаметр которого в \(k = 10\) раз меньше диаметра монеты. Фокусное расстояние объектива \(F = 50\) мм. Оптическая ось объектива перпендикулярна поверхности жидкости.
Какое расстояние \(d\) было установлено на шкале дальности объектива?
Найдите показатель преломления \(n\) жидкости.
▶ПодсказкаСкрыть
Для объектива предметом служит изображение монеты, видимое сквозь жидкость; его расстояние от поверхности равно \(H/n\). Примените формулу тонкой линзы и отношение размеров изображения и монеты.
▶ОтветСкрыть
1) \(d = 55\) см; 2) \(n = 1{,}5\).
▶РешениеСкрыть
Для фотоаппарата предметом будет изображение монеты после выхода лучей из жидкости. Это изображение будет на расстоянии \(\dfrac{H}{n}\) от поверхности жидкости. Его размер равен размеру монеты.
1) Пусть \(\Gamma\) — поперечное увеличение в объективе, \(f\) — расстояние от объектива до изображения в фотоаппарате. Имеем \(\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F}\), \(\dfrac{f}{d} = \Gamma = \dfrac{1}{k}\). Отсюда \(d = F(k + 1) = 11F = 55\) см.
2) \(h + \dfrac{H}{n} = d\). Тогда \(n = \dfrac{H}{d - h} = \dfrac{H}{F(k + 1) - h} = 1{,}5\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2012/13, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.