зад 1 Пуля попадает в шар на тележке
По горизонтальной поверхности пола движется со скоростью \(u = 1\) м/с тележка со штативом, к которому на нити длиной \(l = 0{,}5\) м привязан шар (см. рис.). Пуля, летящая горизонтально со скоростью \(51u\), попадает в шар и застревает в нём. Массы пули и шара \(m\) и \(24m\), масса тележки намного больше массы шара. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. Размеры шара малы по сравнению с длиной нити.
Найдите скорость шара \(v_1\) относительно тележки сразу после попадания пули.
Найдите скорость шара \(v_2\) относительно пола сразу после попадания пули.
На какой максимальный угол от вертикали отклонится нить при дальнейших колебаниях шара?
▶ПодсказкаСкрыть
Попадание пули в шар — неупругий удар, в системе тележки сохраняется импульс. Дальше шар колеблется как маятник; для угла отклонения удобно записать закон сохранения энергии в системе тележки.
▶ОтветСкрыть
1) \(v_1 = 2u = 2\) м/с; 2) \(v_2 = 3u = 3\) м/с; 3) \(\cos\alpha = 1 - \dfrac{2u^2}{gl} \approx 0{,}6\).
▶РешениеСкрыть
1) По ЗСИ в ИСО, связанной с тележкой, \(m(51u - u) = (24m + m)V_1\), откуда \(V_1 = 2u = 2\) м/с.
2) \(V_2 = V_1 + u = 3u = 3\) м/с.
3) По ЗСЭ в ИСО, связанной с тележкой, \(\dfrac{(24m + m)V_1^2}{2} = (24m + m)\,g\,(l - l\cos\alpha)\). Отсюда \(\cos\alpha = 1 - \dfrac{2u^2}{gl} \approx 0{,}6\).
Замечание. Типичный ошибочный ответ \(\cos\alpha = 1 - \dfrac{4u^2}{gl} \approx 0{,}2\) неверен!
зад 2 Цикл идеального газа с адиабатой
Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермического расширения, изохорического охлаждения и адиабатического сжатия. Работа газа при расширении в \(10\) раз больше работы газа за цикл.
Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над газом при сжатии?
Найдите КПД цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
Работа за цикл равна алгебраической сумме работ на всех участках. КПД — отношение работы за цикл к теплу, полученному на изотермическом участке.
▶ОтветСкрыть
1) \(\dfrac{10}{9}\); 2) \(\eta = \dfrac{1}{10}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть 1–2 — изотерма, 2–3 — изохора, 3–1 — адиабата.
1) \(A_{12} + A_{31} = A\), \(A_{12} = 10A\). Отсюда \(\dfrac{A_{12}}{-A_{31}} = \dfrac{10}{9}\).
2) На изотерме \(Q_{12} = A_{12}\), поэтому \(\eta = \dfrac{A}{Q_{12}} = \dfrac{A}{A_{12}} = \dfrac{A}{10A} = \dfrac{1}{10}\).
зад 3 Сила притяжения обкладок и работа раздвигания
Плоский воздушный конденсатор ёмкостью \(C_0\) и расстоянием между обкладками \(d\) заряжен до напряжения \(U_0\) и отсоединён от источника.
Найдите силу притяжения обкладок.
Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками на \(\dfrac{d}{3}\)?
▶ПодсказкаСкрыть
При отсоединённом источнике заряд на обкладках не меняется. Поле между обкладками от их расстояния не зависит, а сила притяжения постоянна.
▶ОтветСкрыть
1) \(F = \dfrac{C_0U_0^2}{2d}\); 2) \(A = \dfrac{C_0U_0^2}{6}\).
▶РешениеСкрыть
1) Напряжённость поля \(E = \dfrac{U_0}{d}\). Заряд конденсатора \(Q = C_0U_0\). Сила притяжения обкладок \(F = Q\dfrac{E}{2} = \dfrac{C_0U_0^2}{2d}\).
2) Сила при раздвигании не меняется, поэтому работа \(A = F\dfrac{d}{3} = \dfrac{C_0U_0^2}{6}\).
зад 4 Заряженный конденсатор замыкают на катушку
В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыкания ключа конденсатор был заряжен до напряжения \(4\mathcal{E}\). Ключ замыкают.
Найдите максимальный ток в цепи.
Найдите ток в момент, когда заряд на конденсаторе равен нулю.
▶ПодсказкаСкрыть
При максимальном токе ЭДС самоиндукции в катушке равна нулю. Запишите закон сохранения энергии с учётом работы источника.
▶ОтветСкрыть
1) \(I_m = 3\mathcal{E}\sqrt{\dfrac{C}{L}}\); 2) \(I = 2\mathcal{E}\sqrt{\dfrac{2C}{L}}\).
▶РешениеСкрыть
1) При максимальном токе \(I_m\) ЭДС индукции в катушке равна нулю. Тогда напряжение на конденсаторе равно \(\mathcal{E}\), левая обкладка имеет заряд \(C\mathcal{E}\). Работа источника \(A = (C\mathcal{E} - 4C\mathcal{E})\mathcal{E} = -3C\mathcal{E}^2\). Изменения энергий конденсатора и катушки: \(\Delta W_C = \dfrac{C\mathcal{E}^2}{2} - \dfrac{C(4\mathcal{E})^2}{2} = -\dfrac{15}{2}C\mathcal{E}^2\), \(\Delta W_L = \dfrac{LI_m^2}{2} - 0 = \dfrac{LI_m^2}{2}\). По ЗСЭ \(A = \Delta W_C + \Delta W_L\), откуда \(I_m = 3\mathcal{E}\sqrt{\dfrac{C}{L}}\).
2) По ЗСЭ от момента замыкания ключа до момента равенства нулю заряда конденсатора \((0 - 4C\mathcal{E})\mathcal{E} = \left(0 - \dfrac{C(4\mathcal{E})^2}{2}\right) + \left(\dfrac{LI^2}{2} - 0\right)\). Отсюда \(I = 2\mathcal{E}\sqrt{\dfrac{2C}{L}}\).
зад 5 Изображение движущегося насекомого в линзе
Фокусное расстояние собирающей линзы \(F\). Муха в некоторый момент пересекает главную оптическую ось линзы на расстоянии от линзы \(\dfrac{7}{5}F\), двигаясь со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) (\(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{4}{3}\)) к оси линзы (см. рис.).
На каком расстоянии от линзы находится изображение мухи в этот момент?
Под каким углом изображение мухи пересекает главную оптическую ось?
Найдите скорость изображения мухи в этот момент.
▶ПодсказкаСкрыть
Воспользуйтесь формулой тонкой линзы. Углы и скорость изображения удобно связать с предметом через поперечное увеличение \(\Gamma = f/d\).
▶ОтветСкрыть
1) \(f = \dfrac{7}{2}F\); 2) \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{8}{15}\); 3) \(u = \dfrac{17}{4}v\).
▶РешениеСкрыть
1) \(d = \dfrac{7}{5}F\). Из \(\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F}\) находим \(f = \dfrac{7}{2}F\).
2) \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{H}{f}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{H}{d}\). Отсюда \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\Gamma}\), где \(\Gamma = \dfrac{f}{d}\) — поперечное увеличение. У нас \(\Gamma = \dfrac{5}{2}\), поэтому \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{8}{15}\).
3) \(\dfrac{u\cos\beta}{v\cos\alpha} = \Gamma^2\), откуда \(u = \Gamma^2 v\dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta}\). У нас \(\Gamma = \dfrac{5}{2}\), \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\), \(\cos\beta = \dfrac{15}{17}\), поэтому \(u = \dfrac{17}{4}v\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2013/14, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.