Физтех, 2013/14, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Удар пули о шайбу неупругий. Горизонтальный импульс системы «горка + шайба» сохраняется. Высоту горки найдите из условия скатывания шайбы с неподвижной горки, где известна конечная скорость.

Ответ

1) \(v_1 = 3u\);  2) \(v_2 = 4u\);  3) \(V = 6u\).

Решение

1) По ЗСИ в ИСО, связанной с горкой, \(m(31u - u) = (9m + m)V_1\), откуда \(V_1 = 3u\).

2) \(V_2 = V_1 + u = 4u\).

3) Найдём высоту горки. Из условия следует, что \(9mgH = \dfrac{9m(4u)^2}{2}\). Отсюда \(H = \dfrac{8u^2}{g}\). По ЗСЭ в ИСО, связанной с горкой, \(\dfrac{10mV_1^2}{2} + 10mgH = \dfrac{10m(V - u)^2}{2}\). С учётом выражений для \(V_1\) и \(H\) получаем \(V = 6u\).

Замечание. Типичный ошибочный ответ \(V = 4\sqrt{2}\,u\) неверен!

Подсказка

Для адиабатического участка тепло не передаётся, а на изотерме работа равна полученному теплу. Выразите все работы через одну из них, используя определение КПД.

Ответ

1) \(\dfrac{1}{1 - \eta}\);  2) \(\dfrac{\eta}{1 - \eta}\).

Решение

Пусть 1–2 — изотерма, 2–3 — изохора, 3–1 — адиабата. \(\eta = \dfrac{A}{Q_{12}}\), работа за цикл \(A = A_{12} + A_{31}\), \(Q_{12} = A_{12}\). Из ЗСЭ для участка 2–3–1 \(Q_{23} = A_{31}\).

1) Из \(A = \eta A_{12}\) следует \(A_{31} = -(1 - \eta)A_{12}\), поэтому \(x_1 = \dfrac{A_{12}}{-A_{31}} = \dfrac{1}{1 - \eta}\).

2) \(x_2 = \dfrac{A}{-Q_{23}} = \dfrac{\eta}{1 - \eta}\).

Подсказка

Заряд при отсоединённом источнике сохраняется. Ёмкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между обкладками, а работа равна изменению энергии конденсатора.

Ответ

1) \(U = 1{,}7\,U_0\);  2) \(A = \dfrac{7}{20}C_0U_0^2\).

Решение

1) Напряжённость поля в конденсаторе не изменилась, поэтому \(U = 1{,}7\,U_0\).

2) \(A = \dfrac{(C_0/1{,}7)(1{,}7U_0)^2}{2} - \dfrac{C_0U_0^2}{2} = \dfrac{7}{20}C_0U_0^2\).

Подсказка

При максимальном токе ЭДС самоиндукции в катушке равна нулю. Запишите закон сохранения энергии для нужных моментов времени, учитывая работу источника.

Ответ

1) \(I_m = \sqrt{\dfrac{4C\mathcal{E}^2}{L} + I^2}\);  2) \(I_1 = \sqrt{\dfrac{3C\mathcal{E}^2}{L} + I^2}\).

Решение

1) При максимальном токе \(I_m\) ЭДС индукции в катушке равна нулю. Тогда напряжение на конденсаторе равно \(\mathcal{E}\), левая обкладка имеет заряд \(C\mathcal{E}\). Работа источника \(A = (C\mathcal{E} - 3C\mathcal{E})\mathcal{E} = -2C\mathcal{E}^2\). Изменения энергий: \(\Delta W_C = \dfrac{C\mathcal{E}^2}{2} - \dfrac{C(3\mathcal{E})^2}{2} = -4C\mathcal{E}^2\), \(\Delta W_L = \dfrac{LI_m^2}{2} - \dfrac{LI^2}{2}\). По ЗСЭ \(A = \Delta W_C + \Delta W_L\). Отсюда \(I_m = \sqrt{\dfrac{4C\mathcal{E}^2}{L} + I^2}\).

2) По ЗСЭ от момента, когда ток равен \(I\), до момента равенства нулю заряда конденсатора \((0 - 3C\mathcal{E})\mathcal{E} = \left(0 - \dfrac{C(3\mathcal{E})^2}{2}\right) + \left(\dfrac{LI_1^2}{2} - \dfrac{LI^2}{2}\right)\). Отсюда \(I_1 = \sqrt{\dfrac{3C\mathcal{E}^2}{L} + I^2}\).

Подсказка

Запишите формулу тонкой линзы и продифференцируйте её по времени: так найдёте скорость изображения вдоль и поперёк оси. Поперечное увеличение \(\Gamma = f/d\) поможет связать результаты.

Ответ

1) \(f = \dfrac{3}{2}F = 30\) см;  2) \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{8}{15}\) (\(\sin\alpha = \dfrac{8}{17}\), \(\cos\alpha = \dfrac{15}{17}\));  3) \(u = \dfrac{17}{60}v = 0{,}85\) см/с.

Решение

1) \(d = 3F\). Из \(\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F}\) находим \(f = \dfrac{3}{2}F = 30\) см.

2) \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{R}{F} = \dfrac{8}{15}\), откуда \(\sin\alpha = \dfrac{8}{17}\), \(\cos\alpha = \dfrac{15}{17}\).

3) \(\Gamma = \dfrac{f}{d} = \dfrac{1}{2}\) — поперечное увеличение. \(\dfrac{u\cos\alpha}{v} = \Gamma^2\), откуда \(u = \dfrac{\Gamma^2 v}{\cos\alpha} = \dfrac{17}{60}v = 0{,}85\) см/с.