зад 1 Подъём груза с массивным канатом
Груз поднимают с некоторым ускорением, направленным вертикально вверх, прикладывая силу \(F = 32\) Н к привязанному к грузу массивному однородному канату. Масса груза в 3 раза больше массы каната. Найдите силу натяжения каната в его середине.
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите систему «груз и канат» целиком, затем её нижнюю половину вместе с грузом.
▶ОтветСкрыть
\(T = \dfrac{7}{8}F = 28\) Н.
▶РешениеСкрыть
Для всей системы «груз + канат» \(a = \dfrac{F - (3m + m)g}{3m + m} = \dfrac{F}{4m} - g\).
Для нижней половины каната (масса \(\dfrac{m}{2}\)) вместе с грузом \(3m\): \(T - \left(3m + \dfrac{m}{2}\right)g = \left(3m + \dfrac{m}{2}\right)a\), откуда \(T = \dfrac{7}{2}m\cdot\dfrac{F}{4m} = \dfrac{7}{8}F = 28\) Н.
зад 2 Смещение уровня ртути в U-трубке
U-образная трубка с открытыми в атмосферу вертикальными коленами заполнена частично ртутью. Одно из колен закрывают сверху, а в другое доливают слой ртути длиной \(l = 6\) см. После установления равновесия в закрытом колене остаётся воздушный столб длиной \(L = 19\) см. Найдите смещение уровня ртути в открытом колене относительно начального положения. Атмосферное давление \(P_0 = 760\) мм рт. ст.
▶ПодсказкаСкрыть
Воздух в закрытом колене подчиняется закону Бойля–Мариотта; используйте условие \(x_1 + x_2 = l\) для смещений уровней ртути.
▶ОтветСкрыть
\(x_1 = 5\) см.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(x_1\) — искомое смещение, \(x_2\) — смещение уровня в закрытом колене, \(\rho\) — плотность ртути, \(S\) — площадь сечения трубки, \(P_0 = \rho g H_0\), \(H_0 = 76\) см. По условию \(x_1 + x_2 = l\). Произведение давления на объём воздуха в закрытом колене постоянно: \(\rho g H_0(L + x_2)S = \bigl(\rho g H_0 + \rho g(x_1 - x_2)\bigr)LS\). Из этих уравнений \(x_1 = \dfrac{l(H_0 + L)}{2L + H_0} = 5\) см.
зад 3 Водород и азот по разные стороны поршня
Поршень, который может двигаться в горизонтальном цилиндре без трения, делит его объём на две части. В одной части находится \(m_1 = 1\) г водорода, а в другой — \(m_2 = 7\) г азота. Температуры газов одинаковые. Какую часть объёма цилиндра занимает водород? Молярные массы водорода и азота \(\mu_1 = 2\) г/моль, \(\mu_2 = 28\) г/моль.
▶ПодсказкаСкрыть
Давления газов по обе стороны поршня одинаковы; запишите уравнения состояния для каждой части.
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{2}{3}\).
▶РешениеСкрыть
Уравнения состояния: \(PV_1 = \dfrac{m_1}{\mu_1}RT\), \(PV_2 = \dfrac{m_2}{\mu_2}RT\). Отсюда \(\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{m_1\mu_2}{m_2\mu_1} = 2\) и доля объёма, занятая водородом, \(x = \dfrac{V_1}{V_1 + V_2} = \dfrac{2}{3}\).
зад 4 Шар на гладкой полке в ускоренном сосуде
В сосуде с водой закреплена полка, наклонённая к горизонту под углом \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 3/5\)). Деревянный шар опирается на гладкую поверхность полки и удерживается с помощью нити, натянутой под углом \(\alpha\) к горизонту (см. рис.). Объём шара \(V\), плотность воды \(\rho\), плотность дерева \(\dfrac{3}{5}\rho\).
Найдите силу натяжения нити при неподвижном сосуде.
Найдите силу натяжения нити при движении сосуда с горизонтальным ускорением \(a = g/4\).
В обоих случаях шар находится полностью в воде.
▶ПодсказкаСкрыть
Архимедова сила в сосуде с ускорением \(a\) имеет и вертикальную, и горизонтальную составляющие: учтите обе, проецируя уравнения на направление нити.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1 = \dfrac{6}{25}\rho Vg\); 2) \(T_2 = \dfrac{8}{25}\rho Vg\).
▶РешениеСкрыть
1) При неподвижном сосуде \(T_1 = \dfrac{6}{25}\rho Vg\).
2) Вертикальная и горизонтальная составляющие силы Архимеда: \(F_{A1} = \rho Vg\), \(F_{A2} = \rho Va\). Уравнение движения шара в проекциях на направление нити: \(T_2 + \dfrac{3}{5}\rho Vg\sin\alpha - F_{A1}\sin\alpha - F_{A2}\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}\rho Va\cos\alpha\), откуда \(T_2 = \left(g\sin\alpha + a\cos\alpha\right)\dfrac{2}{5}\rho V = \dfrac{8}{25}\rho Vg\).
Замечание официального решения: без учёта \(F_{A2}\) получается типичный неверный ответ \(T_{2НЕВ} = \dfrac{3}{25}\rho Vg\).
зад 5 Шарики на нитях в вершинах треугольника: разлёт
В вершинах равнобедренного треугольника со сторонами \(a\), \(5a\), \(5a\) находятся неподвижно три небольших по размерам положительно заряженных шарика, связанных попарно тремя легкими непроводящими нитями. Каждый из шариков, связанных короткой нитью, имеет массу \(m\) и заряд \(q\). Третий шарик имеет массу \(2m\) и заряд \(5q\). Короткую нить пережигают, и шарики начинают двигаться. В момент, когда шарики оказались на одной прямой, скорость шариков массой \(m\) оказалась \(v\).
Найдите в этот момент скорость шарика массой \(5m\).
Найдите \(q\), считая известными \(m\), \(v\), \(a\).
▶ОтветСкрыть
1) \(u = v\); 2) \(q = \dfrac{4}{3}\sqrt{5\pi\varepsilon_0 m v^2 a}\).
▶РешениеСкрыть
По закону сохранения импульса \(2mv = 2mu\), откуда \(u = v\).
По закону сохранения энергии с учётом электростатического взаимодействия \(\dfrac{kq^2}{a} + 2k\dfrac{(5q)q}{5a} = \dfrac{kq^2}{10a} + 2k\dfrac{(5q)q}{5a} + \dfrac{2mu^2}{2} + \dfrac{2mv^2}{2}\), откуда \(q = \sqrt{\dfrac{20mv^2a}{9k}} = \dfrac{4}{3}\sqrt{5\pi\varepsilon_0 mv^2a}\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2014/15, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.