Физтех, 2014/15, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

При ускоренном движении сосуда сила Архимеда имеет горизонтальную составляющую \(\rho V a\). Запишите уравнения движения шара в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси с учётом силы натяжения нити.

Ответ

1) \(N_1 = \rho V g\);  2) \(N_2 = \dfrac{5}{6}\rho V g\).

Решение

1) \(N_1 = \rho V g\).

2) Вертикальная и горизонтальная составляющие силы Архимеда \(F_{A1} = \rho V g\), \(F_{A2} = \rho V a\). Пусть \(N_2\) — сила давления дна на шар, \(T\) — сила натяжения нити. Уравнения движения шара в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси: \[F_{A2} + T\sin\alpha = 2\rho V a, \qquad N_2 - 2\rho V g + F_{A1} + T\cos\alpha = 0.\] Отсюда \[N_2 = \left(g - \frac{a}{\tg\alpha}\right)\rho V = \frac{5}{6}\rho V g.\] Замечание. Без учёта \(F_{A2}\) получается типичный неверный ответ \(N_{2\,\text{НЕВ}} = \dfrac{2}{3}\rho V g\).

Подсказка

Количество теплоты, отданное гелием из первого отсека, равно полученному гелием из второго. Во втором отсеке давление постоянно (поршень свободен), поэтому используйте теплоёмкость при постоянном давлении.

Ответ

1) \(\Delta T_2 = \dfrac{3}{5}\Delta T_1\);  2) \(\Delta V = \dfrac{3}{5}\,\dfrac{\nu R\Delta T_1}{P_0}\).

Решение

1) Количество теплоты, отданное газом из первого отсека, равно количеству теплоты, полученной газом из второго отсека: \(\nu C_V\Delta T_1 = \nu C_P\Delta T_2\). Здесь \(C_V = \dfrac{3}{2}R\), \(C_P = C_V + R = \dfrac{5}{2}R\) — молярные теплоёмкости гелия при постоянном объёме и постоянном давлении. Отсюда изменение температуры во втором отсеке \(\Delta T_2 = \dfrac{3}{5}\Delta T_1\).

2) Пусть \(V\) и \(T_2\) — начальные объём и температура во втором отсеке. Уравнения состояния вначале и в конце: \(P_0 V = \nu R T_2\), \(P_0\left(V + \Delta V\right) = \nu R\left(T_2 + \Delta T_2\right)\). Отсюда с учётом полученного выражения для \(\Delta T_2\) находим изменение объёма \[\Delta V = \frac{3}{5}\,\frac{\nu R\Delta T_1}{P_0}.\]

Подсказка

Поле внутри проводящей пластины равно нулю; на каждой поверхности пластины заряд создаёт поле \(\dfrac{q}{2\varepsilon_0 S}\). Внешние поверхности пластин не дают поля между ними.

Ответ

1) \(U = \dfrac{5Qd}{2\varepsilon_0 S}\);  2) \(q = -\dfrac{3}{2}Q\);  3) \(F = \dfrac{2Q^2}{\varepsilon_0 S}\).

Решение

1) Напряжённость поля между пластинами \(E = \dfrac{5Q}{2\varepsilon_0 S}\). Разность потенциалов \(U = Ed = \dfrac{5Qd}{2\varepsilon_0 S}\).

2) Напряжённость поля внутри левой пластины равна нулю: \(\dfrac{q}{2\varepsilon_0 S} - \dfrac{Q - q}{2\varepsilon_0 S} - \dfrac{-4Q}{2\varepsilon_0 S} = 0\). Отсюда заряд левой стороны левой пластины \(q = -\dfrac{3}{2}Q\).

3) \(F = \dfrac{Q}{2\varepsilon_0 S}\cdot 4Q = \dfrac{2Q^2}{\varepsilon_0 S}\).

Подсказка

Заряд конденсатора связан с напряжением на нём и его ёмкостью. Напряжение на конденсаторе совпадает с напряжением на резисторе \(2R\), а работа источника идёт на тепло и на заряд конденсатора.

Ответ

1) \(I_0 = \dfrac{\varepsilon}{R}\);  2) \(Q_1 = \dfrac{2q_0^2}{C}\);  3) \(Q_2 = q_0\left(3\varepsilon - \dfrac{2q_0}{C}\right)\).

Решение

Здесь \(\varepsilon\) — ЭДС источника.

1) Сразу после замыкания ключа ток через \(2R\) не идёт, ток через источник \(I_0 = \dfrac{\varepsilon}{R}\).

2) Непосредственно перед размыканием ключа и сразу после размыкания заряд конденсатора один и тот же и равен \(2q_0\). После размыкания выделится количество теплоты, равное энергии конденсатора: \[Q_1 = \frac{\left(2q_0\right)^2}{2C} = \frac{2q_0^2}{C}.\]

3) При замкнутом ключе через источник пройдёт заряд \(2q_0 + q_0 = 3q_0\). Работа источника \(A = 3q_0\varepsilon\). По закону сохранения энергии \(A = \dfrac{2q_0^2}{C} + Q_2\). Количество теплоты при замкнутом ключе \[Q_2 = 3q_0\varepsilon - \frac{2q_0^2}{C} = q_0\left(3\varepsilon - \frac{2q_0}{C}\right).\]

Подсказка

Сначала найдите изображение мухи в плоском зеркале, потом рассмотрите его как предмет для линзы, на экран попадает действительное изображение, создаваемое линзой. Скорость изображения в зеркале равна скорости мухи, поперечное увеличение линзы \(\Gamma = f/d\).

Ответ

1) \(f = 24\) см;  2) \(u = 3\) см/с.

Решение

Обозначим \(b = 52\) см, \(c = 20\) см.

1) Изображение \(S_1\) мухи в зеркале будет на расстоянии \(b = 52\) см от зеркала, попадает на главную оптическую ось линзы и находится на расстоянии \(d = b + c = 72\) см от линзы. Изображение в линзе попадает на экран на расстоянии \(f = \dfrac{dF}{d - F} = 24\) см от линзы. Итак, расстояние между линзой и экраном \(f = 24\) см.

2) Скорость изображения в зеркале равна скорости мухи \(v\). Скорость изображения в линзе (на экране) \(u = \Gamma v\). Здесь \(\Gamma = \dfrac{f}{d}\) — поперечное увеличение. У нас \(\Gamma = \dfrac{1}{3}\). Скорость на экране \(u = \dfrac{1}{3}v = 3\) см/с.