зад 1 Три груза и блок
Два груза массами \(4m\) и \(5m\), находящиеся на гладком горизонтальном столе, связаны нитью и соединены с грузом массой \(m\) другой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рис.). Трением в оси блока можно пренебречь.
Найти ускорение грузов.
Во сколько раз сила натяжения нити между грузами на столе меньше силы натяжения другой нити?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона отдельно для каждого груза: нити нерастяжимы, блок невесом.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = \dfrac{g}{10}\); 2) в \(\dfrac{9}{4}\) раза.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(T_1\) — сила натяжения нити между грузами на столе, \(T_2\) — сила натяжения другой нити. Тогда \(T_1 = 4ma\), \(T_2 - T_1 = 5ma\), \(mg - T_2 = ma\).
1) Складывая уравнения, получаем \(mg = 10ma\), откуда \(a = \dfrac{g}{10}\).
2) \(T_2 = 9ma\), поэтому \(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{9ma}{4ma} = \dfrac{9}{4}\).
зад 2 Газ: изобара и линейный процесс
Гелий в количестве \(\nu\) моль расширяется от температуры \(T_1\) в изобарическом процессе 1–2, а затем в процессе 2–3 с прямо пропорциональной зависимостью давления \(P\) от объёма \(V\) (см. рис.). Отношение объёмов \(\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{V_3}{V_2} = \dfrac{3}{2}\).
Найти температуры в состояниях 2 и 3.
Найти работу, совершённую газом в процессе 1–2–3.
Найти суммарное количество теплоты, полученное газом в процессе 1–2–3.
▶ПодсказкаСкрыть
На изобаре температура пропорциональна объёму. Для процесса 2–3 используйте уравнение состояния \(PV = \nu RT\) и связь давления с объёмом в этом процессе.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_1\), \(T_3 = \dfrac{27}{8}T_1\); 2) \(A_{123} = \dfrac{23}{16}\nu RT_1\); 3) \(Q = 5\nu RT_1\).
▶РешениеСкрыть
Имеем \(V_2 = \dfrac{3}{2}V_1\), \(V_3 = \dfrac{9}{4}V_1\), \(P_2 = \dfrac{3}{2}P_1\).
1) \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_1\), \(T_3 = \dfrac{27}{8}T_1\).
2) \(A_{12} = \dfrac{1}{2}\nu RT_1\), \(A_{23} = \dfrac{15}{16}\nu RT_1\). Тогда \(A_{123} = A_{12} + A_{23} = \dfrac{23}{16}\nu RT_1\).
3) \(Q = \nu\dfrac{3}{2}R\left(T_3 - T_1\right) + A_{123} = 5\nu RT_1\).
зад 3 Малые приращения параметров газа
Один моль гелия находится при температуре \(T = 273\) К. Далее газ расширяется так, что объём увеличивается на \(3\%\), а давление уменьшается на \(2\%\). Изменения параметров газа считать малыми.
Вычислите приращение \(\Delta T\) температуры газа.
Какую работу \(\Delta A\) совершил газ в процессе расширения?
Найдите молярную теплоёмкость \(C\) газа в этом процессе.
▶ПодсказкаСкрыть
Прологарифмируйте уравнение состояния \(PV = \nu RT\) и запишите малые приращения. Для теплоёмкости используйте первое начало термодинамики с \(C_V = \dfrac{3}{2}R\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\Delta T = 2{,}7\) К; 2) \(\Delta A \approx 68\) Дж; 3) \(C \approx 37\) Дж/(моль·К).
▶РешениеСкрыть
1) \(\dfrac{\Delta V}{V} + \dfrac{\Delta P}{P} = \dfrac{\Delta T}{T}\), откуда \(\Delta T = T\left(\dfrac{\Delta V}{V} + \dfrac{\Delta P}{P}\right) = 0{,}01\,T = 2{,}7\) К.
2) \(\Delta A = P\Delta V = \nu RT\dfrac{\Delta V}{V} \approx 68\) Дж.
3) \(\nu C\Delta T = \nu C_V\Delta T + \nu RT\dfrac{\Delta V}{V}\) (первое начало). Отсюда \[C = C_V + R\,\frac{\Delta V/V}{\Delta V/V + \Delta P/P} = \frac{3}{2}R + 3R = \frac{9}{2}R \approx 37~\text{Дж/(моль·К)}.\]
зад 4 Ртуть в Г-образной трубке
Тонкая Г-образная трубка постоянного внутреннего сечения полностью заполнена ртутью (см. рис.). Горизонтальное колено трубки закрыто с одного конца. Вертикальное колено высотой \(H = 8\) мм открыто в атмосферу. Атмосферное давление \(P_0 = 752\) мм рт. ст. Ртуть начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим чем \(a_0 = 0{,}8\,g\). При движении трубки с некоторым ускорением \(a\), большим \(a_0\), выливается слой ртути длиной \(L_1 = 19\) см.
Найти длину \(L\) горизонтального колена.
Найти ускорение \(a\).
▶ПодсказкаСкрыть
Какая сила сообщает ускорение столбику ртути в горизонтальном колене? Сравните давления на концах столбика, учитывая вертикальное колено.
▶ОтветСкрыть
1) \(L = 95\) см; 2) \(a = g\).
▶РешениеСкрыть
Давление \(P_0 = \rho gH_0\), где \(H_0 = 75{,}2\) см.
1) Для столбика длиной \(L\) по второму закону Ньютона \(\rho g\left(H_0 + H\right)S = \rho LSa_0\), \(a_0 = 0{,}8\,g\). Отсюда \(L = \dfrac{H_0 + H}{0{,}8} = 95\) см.
2) Для столбика длиной \(L - L_1\): \(\rho g\left(H_0 + H\right)S = \rho\left(L - L_1\right)Sa\). Отсюда \(a = \dfrac{H_0 + H}{L - L_1}\,g = g\).
зад 5 Канат на гладком шкиве
На гладком закреплённом бревне радиусом \(R\) висит массивный однородный канат массой \(m\) и длиной \(l = 7R\), прикреплённый к бревну в точке \(E\) (см. рис.). Точка \(E\) и ось \(O\) бревна находятся в одной горизонтальной плоскости.
Найти силу натяжения каната в точке \(A\).
Найти силу натяжения каната в точке \(B\) такой, что угол \(EOB\) равен \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 2/3\)).
▶ПодсказкаСкрыть
Силу натяжения в точке \(A\) определяет вес части каната, свисающей с бревна. Для точки \(B\) рассмотрите равновесие малого участка каната на дуге.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_A = \dfrac{7 - \pi}{7}\,mg\); 2) \(T_B = \dfrac{23 - 3\pi}{21}\,mg\).
▶РешениеСкрыть
1) \(T_A = mg\,\dfrac{l - \pi R}{l} = \dfrac{7 - \pi}{7}\,mg\).
2) Мысленно переместим участок \(AB\) на малое расстояние \(x\): \(T_Bx - T_Ax = \dfrac{m}{l}\,x\,g\,R\sin\alpha\). Отсюда \(T_B = T_A + \dfrac{2}{21}mg\), \(T_B = \dfrac{23 - 3\pi}{21}\,mg\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2015/16, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.