Физтех, 2015/16, заключительный этап, 11 класс

Запишите второй закон Ньютона для шарика отдельно по вертикали (равнодействующая сил равна нулю) и по горизонтали (центростремительное ускорение равно \(\omega^2 R\)).

1) \(T_1 = \dfrac{5}{3}mg\);  2) \(\omega = \dfrac{\sqrt{13}}{3}\sqrt{\dfrac{g}{R}}\).

Пусть \(T_1\) — сила натяжения верхней нити, \(T_2\) — нижней, \(T_1 = 3T_2\). По вертикали: \(T_1\cos\alpha - T_2\sin\alpha - mg = 0\). Отсюда \(T_2 = \dfrac{5}{9}mg\), \(T_1 = \dfrac{5}{3}mg\).

По горизонтали: \(T_1\sin\alpha + T_2\cos\alpha = m\omega^2 R\), то есть \(mg + \dfrac{4}{9}mg = m\omega^2 R\). Откуда \(\omega = \dfrac{\sqrt{13}}{3}\sqrt{\dfrac{g}{R}}\).

Запишите первое начало термодинамики для малого нагрева через \(C\) и \(C_V = \tfrac{3}{2}R\): работа на малом участке выражается через изменение \(T^2\), а суммарная работа за процесс равна нулю.

1) \(T_1 = 2T_0\);  2) \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_0\).

Для малого нагрева на \(\Delta T\) первое начало: \(\nu C\,\Delta T = \nu C_V\,\Delta T + \Delta A\), то есть \(\nu(C - C_V)\,\Delta T = \Delta A\). Подставляя \(C = R\dfrac{T}{T_0}\) и \(C_V = \dfrac{3}{2}R\): \[\nu R\,\frac{T}{T_0}\,\Delta T = \nu\,\frac{3}{2}R\,\Delta T + \Delta A, \qquad \nu R\,\frac{1}{2T_0}\,\Delta\!\left(T^2\right) = \nu\,\frac{3}{2}R\,\Delta T + \Delta A.\]

1) Суммируем по всему процессу от \(T_0\) до \(T_1\). Полная работа равна нулю, \(\sum\Delta A = 0\), поэтому \(\dfrac{T_1^2 - T_0^2}{2T_0} = \dfrac{3}{2}\,(T_1 - T_0)\), откуда \(T_1 = 2T_0\).

2) В точке минимального объёма \(\Delta A = 0\), значит \(C = C_V\), то есть \(R\dfrac{T_2}{T_0} = \dfrac{3}{2}R\). Отсюда \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_0\).

Сила Лоренца перпендикулярна скорости: что она делает с модулем скорости? Внутри поля частица движется по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью.

1) \(\dfrac{V}{V_0} = 1\) (сила Лоренца перпендикулярна скорости, её работа равна нулю);  2) \(t = \dfrac{m\alpha}{qB} = 5{,}5\cdot10^{-7}\) с \(= 0{,}55\) мкс.

1) \(V/V_0 = 1\), так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, и её работа равна нулю.

2) В поле частица движется с постоянной по модулю скоростью \(V\) по дуге окружности радиуса \(R\), которой соответствует центральный угол \(\alpha\). Имеем \(\dfrac{mV^2}{R} = qVB\) и \(t = \dfrac{R\alpha}{V}\). Отсюда \(t = \dfrac{m\alpha}{qB} = 5{,}5\cdot10^{-7}\) с \(= 0{,}55\) мкс.

Выберите направления токов через средний и правый источники и запишите второе правило Кирхгофа для левого и наружного контуров; ток через ключ — разность этих токов.

1) \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{8R}\), ток через ключ направлен налево;  2) \(\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{9}{10}\).

1) Пусть ток \(I_1\) через средний источник идёт вверх, а ток \(I_2\) через правый источник — вниз. По второму правилу Кирхгофа для левого и наружного контуров: \[\tfrac{3}{4}\mathcal{E} - \mathcal{E} = -I_1R, \qquad \tfrac{3}{4}\mathcal{E} - \tfrac{1}{2}\mathcal{E} = 2I_2R.\] Отсюда \(I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{4R}\), \(I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{8R}\). Ток через ключ \(I = I_1 - I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{8R}\), он идёт налево.

2) При разомкнутом ключе ток \(I_0 = \dfrac{\mathcal{E} - \mathcal{E}/2}{R + 2R} = \dfrac{\mathcal{E}}{6R}\), напряжение \(U_1 = \mathcal{E} - I_0R = \dfrac{5\mathcal{E}}{6}\). При замкнутом ключе напряжение \(U_2 = \dfrac{3\mathcal{E}}{4}\). Отношение напряжений \(\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{9}{10}\).

Для изображения с увеличением \(\Gamma\) расстояние от предмета до переднего фокуса равно \(F/\Gamma\) (для собирающей линзы в случае действительного увеличения) — сравните два положения предмета.

1) собирающая;  2) \(\dfrac{x}{F} = \dfrac{2}{\Gamma} = \dfrac{1}{2}\).

1) Линза может быть только собирающая.

2) В одном случае предмет находится между фокусом и точкой на двойном фокусном расстоянии, а в другом — между фокусом и линзой. Пусть в первом случае предмет находится от ближайшего фокуса на расстоянии \(\delta_1\), а во втором — на расстоянии \(\delta_2\). Увеличение в первом случае \(\Gamma = \dfrac{F}{\delta_1}\), во втором — \(\Gamma = \dfrac{F}{\delta_2}\). Отсюда \(\delta_1 = \delta_2 = \dfrac{F}{\Gamma}\). Перемещение предмета \(x = \delta_1 + \delta_2 = \dfrac{2F}{\Gamma}\). Отношение \(\dfrac{x}{F} = \dfrac{2}{\Gamma} = \dfrac{1}{2}\).