зад 1 Канат на шкиве
На гладком закреплённом бревне радиусом \(R\) висит массивный однородный канат массой \(m\) и длиной \(l = 7R\), прикреплённый к бревну в точке \(E\) (см. рис.). Точка \(E\) и ось \(O\) бревна находятся в одной горизонтальной плоскости.
Найти силу натяжения каната в точке \(A\).
Найти силу натяжения каната в точке \(B\) такой, что угол \(EOB\) равен \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 2/3\)).
▶ПодсказкаСкрыть
В точке \(A\) канат висит свободно, и натяжение равно весу висящей части. Для точки \(B\) рассмотрите малый участок каната на бревне и баланс сил вдоль каната.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_A = \dfrac{7-\pi}{7}\,mg\); 2) \(T_B = \dfrac{23-3\pi}{21}\,mg\).
▶РешениеСкрыть
1) \(T_A = mg\,\dfrac{l - \pi R}{l} = \dfrac{7-\pi}{7}\,mg\).
2) Мысленно переместим участок \(AB\) на малое расстояние \(x\): \(T_B x - T_A x = \dfrac{m}{l}\,x\,g\,R\sin\alpha\). Отсюда \(T_B = T_A + \dfrac{2}{21}\,mg\), то есть \(T_B = \dfrac{23-3\pi}{21}\,mg\).
зад 2 Газ: линейный и изобарный процессы
Гелий в количестве \(\nu\) моль расширяется от температуры \(T_1\) в изобарическом процессе 1-2, а затем в процессе 2-3 с прямо пропорциональной зависимостью давления \(P\) от объёма \(V\) (см. рис.). Отношение объёмов \(\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{V_3}{V_2} = \dfrac{3}{2}\).
Найти температуры в состояниях 2 и 3.
Найти работу, совершённую газом в процессе 1-2-3.
Найти суммарное количество теплоты, полученное газом в процессе 1-2-3.
▶ПодсказкаСкрыть
Прямая \(P \propto V\) проходит через начало координат, поэтому \(P_3/V_3 = P_2/V_2\). Работа на участке с линейной зависимостью равна площади под графиком, то есть полусумме давлений, умноженной на изменение объёма.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_1\), \(T_3 = \dfrac{27}{8}T_1\); 2) \(A_{123} = \dfrac{23}{16}\,\nu RT_1\); 3) \(Q = 5\,\nu RT_1\).
▶РешениеСкрыть
\(V_2 = \dfrac{3}{2}V_1\), \(V_3 = \dfrac{9}{4}V_1\). Давления: \(P_2 = \dfrac{3}{2}P_1\), \(P_3 = \dfrac{3}{2}P_1\).
1) \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_1\), \(T_3 = \dfrac{27}{8}T_1\).
2) \(A_{12} = \dfrac{1}{2}\nu RT_1\), \(A_{23} = \dfrac{15}{16}\nu RT_1\). Отсюда \(A_{123} = A_{12} + A_{23} = \dfrac{23}{16}\,\nu RT_1\).
3) \(Q = \nu\,\dfrac{3}{2}R\,(T_3 - T_1) + A_{123} = 5\,\nu RT_1\).
зад 3 Бусинка на спице в магнитном поле
Бусинка массой \(m\) с положительным зарядом \(q\) может скользить вдоль закреплённой длинной спицы. Бусинка со спицей помещены в однородное магнитное поле с индукцией \(B\) (см. рис.). Угол между вектором индукции и спицей \(\alpha = \arcsin\dfrac{3}{5}\). Бусинке сообщают скорость \(V_0\). Коэффициент трения между бусинкой и спицей \(\mu\). Действие силы тяжести не учитывать.
Найти силу трения, действующую на бусинку, в момент, когда её скорость станет \(V_0/2\).
На какое максимальное расстояние сместится бусинка вдоль спицы?
▶ПодсказкаСкрыть
Сила, с которой спица действует на бусинку перпендикулярно себе, равна по модулю силе Лоренца, и через неё выражается сила трения. Запишите второй закон Ньютона вдоль спицы и перейдите от \(\Delta t\) к \(\Delta x\).
▶ОтветСкрыть
1) \(F_{тр} = 0{,}3\,\mu qV_0B\); 2) \(S = \dfrac{5mV_0}{3\mu qB}\).
▶РешениеСкрыть
Сила Лоренца \(F = qVB\sin\alpha\), здесь \(V\) — скорость. Сила трения \(F_{тр} = \mu qVB\sin\alpha\).
1) \(F_{тр1} = \mu q\,\dfrac{V_0}{2}\,B\sin\alpha = 0{,}3\,\mu qV_0B\).
2) \(-\mu qVB\sin\alpha = m\dfrac{\Delta V}{\Delta t}\), то есть \(-\mu q\,\Delta x\,B\sin\alpha = m\,\Delta V\). Суммируя, получаем \(-\mu qSB\sin\alpha = m(0 - V_0)\), откуда \(S = \dfrac{5mV_0}{3\mu qB}\).
зад 4 Конденсатор и ключ в цепи
В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы идеальные, их параметры указаны, ключ замкнут, режим установился.
Найти напряжение на конденсаторе при замкнутом ключе.
Найти ток через источник сразу после размыкания ключа.
Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания ключа?
▶ПодсказкаСкрыть
В установившемся режиме ток через конденсатор не течёт, поэтому напряжение на нём равно напряжению на параллельном участке. Сразу после размыкания заряд конденсатора не меняется.
▶ОтветСкрыть
1) \(U = \dfrac{2}{3}\mathcal{E}\); 2) \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{3R}\); 3) \(Q = \dfrac{1}{18}\,C\mathcal{E}^2\).
▶РешениеСкрыть
1) \(U = \dfrac{2}{3}\mathcal{E}\).
2) \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{3R}\).
3) В установившемся режиме после размыкания ключа напряжение на конденсаторе равно \(\mathcal{E}\). Изменение энергии конденсатора \[\Delta W_C = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} - \frac{CU^2}{2} = \frac{5}{18}\,C\mathcal{E}^2.\] Работа источника \(A = \left(C\mathcal{E} - CU\right)\mathcal{E} = \dfrac{C\mathcal{E}^2}{3}\). По закону сохранения энергии \(Q = A - \Delta W_C = \dfrac{1}{18}\,C\mathcal{E}^2\).
зад 5 Линза: два положения при неподвижном экране
Тонкая собирающая линза создаёт на экране изображение стрелки, перпендикулярной её главной оптической оси, с увеличением \(\Gamma = 2\). Линзу перемещают, положение главной оптической оси остаётся неизменным, стрелку и экран не двигают. К моменту, когда на экране вновь наблюдается чёткое изображение, перемещение составило \(S = 27\) см.
Сравнить расстояние между стрелкой и линзой до перемещения линзы и расстояние между экраном и линзой после перемещения.
Найти фокусное расстояние \(F\) линзы.
▶ПодсказкаСкрыть
Стрелка и экран неподвижны, поэтому их суммарное расстояние \(L\) не меняется. Запишите формулу линзы для обоих положений и условие увеличения \(\Gamma = f/d\).
▶ОтветСкрыть
1) расстояния равны; 2) \(F = \dfrac{2}{3}S = 18\) см.
▶РешениеСкрыть
1) Расстояния равны. Обозначим их через \(d\).
2) Для двух положений линзы: \(\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{d+S} = \dfrac{1}{F}\) и \(\dfrac{d+S}{d} = \Gamma = 2\). Отсюда \(F = \dfrac{2}{3}S = 18\) см.
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2015/16, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.