зад 1 Три груза и блок
Два груза массами \(m\) и \(2m\), находящиеся на гладком горизонтальном столе, связаны нитью и соединены с грузом массой \(3m\) другой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рис.). Трением в оси блока можно пренебречь.
Найти ускорение грузов.
Во сколько раз сила натяжения нити между грузами на столе меньше силы натяжения другой нити?
▶ПодсказкаСкрыть
Все три груза движутся с одним и тем же ускорением. Запишите второй закон Ньютона для системы из трёх грузов и для грузов \(m\) и \(2m\) на столе.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = \dfrac{g}{2}\); 2) в 3 раза.
▶РешениеСкрыть
1) \(\begin{cases} 3ma = 3mg - T \\ (2m + m)a = T \end{cases}\) Отсюда \(a = \dfrac{g}{2}\), \(T = \dfrac{3}{2}mg\).
2) Пусть \(T_1\) — сила натяжения нити между грузами \(m\) и \(2m\). Тогда \(T_1 = ma = \dfrac{mg}{2}\), и \(\dfrac{T}{T_1} = 3\).
зад 2 Бруски на вращающейся платформе
Два небольших по размерам бруска находятся на гладкой горизонтальной платформе. Бруски связаны нитью и привязаны другой нитью к оси \(OO'\) (см. рис.). Расстояния брусков от оси \(OO'\) отличаются в 3 раза. Отношение масс брусков \(m_2/m_1 = 3\). Система вращается вокруг вертикальной оси \(OO'\).
Найти отношение сил натяжения нитей между осью \(OO'\) и бруском \(m_2\) и между грузами.
▶ПодсказкаСкрыть
Для каждого бруска центростремительная сила создаётся натяжением нитей. Запишите уравнения для обоих брусков и используйте отношения масс и расстояний.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{T_2}{T_1} = 2\), где \(T_2\) — сила натяжения нити между осью и бруском \(m_2\), \(T_1\) — между грузами.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(r_2\) и \(r_1\) — расстояния брусков от оси, \(r_1 = 3r_2\). Уравнения: \(m_2\omega^2 r_2 = T_2 - T_1\) и \(m_1\omega^2 r_1 = T_1\). Отсюда \[\frac{T_2}{T_1} = 1 + \frac{m_2 r_2}{m_1 r_1} = 1 + 3\cdot\frac{1}{3} = 2.\]
зад 3 Спутник на высоте
Радиус планеты \(R\). На какой высоте, считая от поверхности планеты, скорость спутника, движущегося по круговой орбите, будет в 2 раза меньше первой космической скорости для этой планеты?
▶ПодсказкаСкрыть
Первая космическая скорость относится к орбите у самой поверхности. Скорость на круговой орбите радиуса \(r\) зависит от \(r\) так же, как \(1/\sqrt{r}\).
▶ОтветСкрыть
\(h = 3R\).
▶РешениеСкрыть
\(V_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}\), на высоте \(h\): \(V = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}\), \(r = R + h\). Условие \(V = \dfrac{V_1}{2}\) даёт \(r = 4R\). Отсюда \(h = r - R = 3R\).
зад 4 Шарик и упругая стена
Маленький шарик, брошенный под углом \(\alpha = 15^{\circ}\) к горизонту с начальной скоростью \(V_0 = 10\) м/с, упруго ударяется о вертикальную стену, находящуюся на расстоянии \(L = 4\) м от места броска. Плоскость стены перпендикулярна плоскости траектории шарика. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Известно, что при любых углах \(\alpha\) справедливо \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\).
Найдите расстояние (по горизонтали) от места броска, на котором шарик поднимется на максимальную высоту.
На каком расстоянии от места броска шарик упадет на горизонтальную поверхность земли?
▶ПодсказкаСкрыть
Упругий удар о вертикальную стену меняет горизонтальную составляющую скорости на противоположную, а вертикальная не меняется. Дальность полёта без стены удобно использовать как вспомогательную величину.
▶ОтветСкрыть
1) \(2{,}5\) м; 2) \(3\) м.
▶РешениеСкрыть
1) Горизонтальное расстояние до точки максимального подъёма \[L_{\text{max}} = \frac{V_0^2\sin 2\alpha}{2g} = \frac{10^2\sin(2\cdot 15^{\circ})}{20} = 2{,}5~\text{м}.\]
2) Дальность полёта без стены \(L_0 = \dfrac{V_0^2\sin 2\alpha}{g} = 5\) м. Шарик после упругого удара со стенкой возвращается; расстояние от места броска до точки падения на землю \(l = 2L - L_0 = 8 - 5 = 3\) м.
зад 5 Ртуть в Г-образной трубке
Тонкая Г-образная трубка постоянного внутреннего сечения полностью заполнена ртутью (см. рис.). Горизонтальное колено трубки закрыто с одного конца и имеет длину \(L = 150\) см. Вертикальное колено высотой \(H = 10\) см открыто в атмосферу. Атмосферное давление \(P_0 = 740\) мм рт. ст. Ртуть начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим чем \(a_0\).
Найти давление (в мм рт. ст.) в середине горизонтального колена при движении с ускорением \(a_0\).
Найти длину вылившегося слоя ртути при движении с ускорением \(\dfrac{5}{4}a_0\).
▶ПодсказкаСкрыть
В системе отсчёта трубки на ртуть действует сила инерции, и давление вдоль горизонтального колена меняется линейно. Выпишите давление в точке, где ртуть ещё касается закрытого конца.
▶ОтветСкрыть
1) \(420\) мм рт. ст.; 2) \(30\) см.
▶РешениеСкрыть
Выделим горизонтальный участок ртути массой \(\Delta m\): \(\Delta m\,a = F(x) - F(x + \Delta x)\), откуда \(\Delta P = \rho a\,\Delta x\). Давление у изгиба \(P_u = \rho g(H + H_0)\), где \(H_0 = P_0\) — атмосферное давление, \(H = 100\) мм, так что \(P_u = 100 + 740 = 840\) мм рт. ст. Давление вдоль колена \[P(x) = \rho g(H + H_0) - \rho a x = P_u - \rho a x,\] где \(x\) отсчитывается от изгиба.
1) \(P\!\left(\dfrac{L}{2}\right) = \dfrac{P_u}{2} = \dfrac{840}{2} = 420\) мм рт. ст.
2) При \(a \ge a_0\) давление на закрытом конце обращается в ноль: \(P(L) = 0\), откуда \(a_0 = \dfrac{P_u}{\rho L}\). При \(a = \dfrac{5}{4}a_0\) ртуть остаётся на длине \(l\): \(0 = P_u - \rho\cdot\dfrac{5}{4}a_0\,l\), откуда \(l = \dfrac{4}{5}L\). Длина вылившегося слоя \(L - l = \dfrac{1}{5}L = 30\) см.
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2015/16, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.