зад 1 Камень на Земле и на Луне
Камень, брошенный вертикально вверх с поверхности Земли с некоторой скоростью, упал на Землю через 2 с. Через какое время упадет камень, брошенный вертикально вверх с той же скоростью, на Луне? Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле.
▶ПодсказкаСкрыть
Время полёта тела, брошенного вверх и вернувшегося на поверхность, зависит только от начальной скорости и ускорения свободного падения.
▶ОтветСкрыть
\(t_л = 12\ \text{с}\).
▶РешениеСкрыть
Время полёта камня, брошенного вертикально вверх со скоростью \(V_0\), равно \(t = \dfrac{2V_0}{g}\). Отношение времён полёта на Луне и на Земле \(\dfrac{t_л}{t_з} = \dfrac{g_з}{g_л} = 6\), откуда \(t_л = 6\cdot 2\ \text{с} = 12\ \text{с}\).
зад 2 Бруски на пружинах и нить
Бруски с массами \(m\), \(2m\), \(3m\) и \(4m\), соединённые лёгкими пружинами и нитью (см. рис.), удерживаются неподвижно с помощью упора на гладкой наклонной поверхности с углом наклона к горизонту \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 1/3\)).
Найти силу натяжения нити.
Найти ускорение (направление и модуль) бруска с массой \(m\) сразу после пережигания нити.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите натяжение нити из равновесия всей группы брусков вдоль наклонной плоскости. Сила упругости пружины, связывающей брусок \(m\) с верхним упором, сразу после пережигания нити меняется не мгновенно.
▶ОтветСкрыть
1) \(T = 3mg\); 2) \(a = 3g\), направлено вверх вдоль наклонной плоскости.
▶РешениеСкрыть
Для грузов \(2m\), \(3m\), \(4m\) в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости: \(0 = T - (2m + 3m + 4m)\,g\sin\alpha\), откуда \(T = 9mg\sin\alpha = 3mg\).
Для груза \(m\) до пережигания нити: \(0 = T + mg\sin\alpha - F_{упр}\).
После пережигания: \(ma = -F_{упр} + mg\sin\alpha = -T\), откуда \(a = -\dfrac{T}{m} = -3g\). Знак «минус» означает, что ускорение направлено вверх вдоль наклонной плоскости.
зад 3 Шарик на двух нитях при вращении
Небольшой по размерам шарик массой \(m\) движется по окружности в горизонтальной плоскости, находясь от вертикальной оси вращения на расстоянии \(R\). Шарик удерживается двумя нитями, угол между которыми \(90^\circ\) (см. рис.). Верхняя нить составляет с осью вращения угол \(\alpha\) (\(\cos\alpha = 4/5\)). Сила натяжения верхней нити в 3 раза больше, чем нижней.
Найти силу натяжения верхней нити.
Найти угловую скорость вращения.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона отдельно по вертикали (шарик не движется вверх и вниз) и по горизонтали (центростремительное ускорение).
▶ОтветСкрыть
1) \(T_В = \dfrac{5}{3}mg\); 2) \(\omega = \sqrt{\dfrac{13g}{9R}}\).
▶РешениеСкрыть
Проекция на вертикальную ось: \(T_В\cos\alpha - T_Н\sin\alpha - mg = 0\). Так как \(T_В = 3T_Н\) и \(\sin\alpha = 3/5\), то \(\dfrac{4}{5}T_В - \dfrac{1}{5}T_В = mg\), откуда \(T_В = \dfrac{5}{3}mg\) и \(T_Н = \dfrac{5}{9}mg\).
Проекция на горизонтальную ось (центростремительное ускорение): \(m\omega^2 R = T_В\sin\alpha + T_Н\cos\alpha = \dfrac{5}{3}mg\cdot\dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{9}mg\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{13}{9}mg\), откуда \(\omega = \sqrt{\dfrac{13g}{9R}}\).
зад 4 Клин с блоком и грузами
Клин массой \(m\) находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нерастяжимая нить, связывающая грузы, массы которых \(m_1 = 2m\) и \(m_2 = 3m\). Грузы удерживают, затем отпускают. После этого грузы движутся, а клин покоится. Гладкая наклонная поверхность клина образует с горизонтом угол \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 0{,}6\)).
Найдите ускорение грузов.
Найдите силу нормальной реакции, действующую на клин со стороны стола.
▶ПодсказкаСкрыть
Для грузов запишите второй закон Ньютона вдоль нити; для клина условие покоя даёт силы, действующие со стороны грузов через блок и наклонную поверхность.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = \dfrac{9}{25}g\); 2) \(N = \dfrac{669}{125}mg = 5\dfrac{44}{125}mg\).
▶РешениеСкрыть
Уравнения движения грузов: \(m_2 a = m_2 g - T\), \(m_1 a = T - m_1 g\sin\alpha\), откуда \(a = g\,\dfrac{m_2 - m_1\sin\alpha}{m_1 + m_2} = \dfrac{9}{25}g\) и \(T = m_2(g - a) = \dfrac{48}{25}mg\).
Сила нормальной реакции стола на клин: \(N = mg + T(1 + \sin\alpha) + 2mg\cos^2\alpha = mg\left(1 + \dfrac{48}{25}\cdot\dfrac{16}{10} + \dfrac{32}{25}\right) = \dfrac{669}{125}mg\).
зад 5 Вода в U-образной трубке при ускорении
Тонкая U-образная трубка постоянного внутреннего сечения с горизонтальным коленом длиной \(L\) и двумя одинаковыми вертикальными коленами, открытыми в атмосферу, заполнена водой не полностью (см. рис.). В каждом вертикальном колене остаётся слой воздуха длиной \(H\). Вода начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим, чем некоторая величина \(a_0\). Горизонтальное колено остаётся всегда заполненным водой.
Найти ускорение \(a_0\).
Найти длину вылившегося слоя воды при движении с ускорением \(\dfrac{4a_0}{3}\).
▶ПодсказкаСкрыть
В системе трубки на воду в горизонтальном колене действует сила инерции; разность давлений на концы горизонтального колена сообщает воде ускорение.
▶ОтветСкрыть
1) \(a_0 = \dfrac{2gH}{L}\); 2) \(l = \dfrac{2}{3}H\).
▶РешениеСкрыть
Для горизонтального участка жидкости в системе трубки \(\rho L S a_0 = \bigl(P_0 + \rho g H_0\bigr)S - \bigl(P_0 + \rho g(H_0 - 2H)\bigr)S\), откуда \(a_0 = \dfrac{2gH}{L}\).
При ускорении \(\dfrac{4a_0}{3}\) длина вылившегося слоя воды находится из того же баланса сил: \(\rho L\dfrac{4a_0}{3} = \rho g H_0 - \rho g(H_0 - l)\), откуда \(l = \dfrac{4a_0 L}{3g} = \dfrac{8}{3}H\) — длина столба, при которой вода выливается; оставшийся слой воды в вертикальном колене составляет \(l_В = (H_0 - 2H) - (H_0 - l) = l - 2H = \dfrac{2}{3}H\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2015/16, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.