зад 1 Камень в верхней точке
Камень брошен с поверхности Земли под углом к горизонту со скоростью \(V_0 = 10\) м/с. В верхней точке траектории скорость камня оказалась \(V = 6\) м/с. Сопротивление воздуха не учитывать. Принять ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
Найти вертикальную составляющую скорости камня при броске.
Найти время полёта камня до верхней точки траектории.
▶ПодсказкаСкрыть
В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная не меняется во время полёта.
▶ОтветСкрыть
1) \(V_В = 8\) м/с; 2) \(t = 0{,}8\) с.
▶РешениеСкрыть
В верхней точке скорость горизонтальна, \(V = V_0\cos\alpha\), откуда \(\cos\alpha = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\) и \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\).
Вертикальная составляющая скорости при броске \(V_В = V_0\sin\alpha = 10\cdot\dfrac{4}{5} = 8\) м/с.
Время полёта до верхней точки \(t = \dfrac{V_0\sin\alpha}{g} = 0{,}8\) с.
зад 2 Высота, где g меньше
На какой высоте, считая от поверхности Земли, ускорение свободного падения на \(19\%\) меньше, чем на поверхности Земли? Радиус Земли равен \(R\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните ускорение свободного падения на расстоянии \(R+h\) от центра Земли с ускорением у её поверхности по закону всемирного тяготения.
▶ОтветСкрыть
\(h = \dfrac{R}{9}\).
▶РешениеСкрыть
\(g = G\dfrac{M}{R^2}\), \(g' = G\dfrac{M}{(R+h)^2} = 0{,}81\,g\). Отсюда \(\dfrac{g}{g'} = \dfrac{(R+h)^2}{R^2} = \dfrac{1}{0{,}81}\) и \(\dfrac{R+h}{R} = \dfrac{10}{9}\), так что \(h = \dfrac{R}{9}\).
зад 3 Автомобиль на выпуклом мосту
Автомобиль массой \(m\) при движении по выпуклому мосту давит на мост в верхней точке с силой \(0{,}9\,mg\). С какой силой будет давить на мост в верхней точке этот же автомобиль при движении со скоростью в 2 раза большей?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона для автомобиля в верхней точке моста в проекции на радиус кривизны моста.
▶ОтветСкрыть
\(N' = 0{,}6\,mg\).
▶РешениеСкрыть
В верхней точке \(\dfrac{mv^2}{R} = mg - N\), где \(N = 0{,}9\,mg\) — сила реакции моста. При скорости \(2v\): \(N' = mg - \dfrac{4mv^2}{R} = mg - 4\left(mg - N\right) = 4N - 3mg\), что даёт \(N' = 4(0{,}9\,mg - 0{,}75\,mg) = 0{,}6\,mg\).
зад 4 Трубка на вращающейся платформе
Тонкая трубка запаяна с одного конца, заполнена жидкостью плотностью \(\rho\) и закреплена на горизонтальной платформе (см. рис.). Открытое колено трубки вертикально и заполнено жидкостью до высоты \(H\). Платформа вращается с угловой скоростью \(\omega\) вокруг вертикальной оси. Вертикальное колено находится на расстоянии \(R\), а конец горизонтального — на расстоянии \(7R\) от оси вращения. Атмосферное давление \(P_0\).
Найти давление жидкости в месте изгиба трубки.
Найти давление жидкости в горизонтальном колене на расстоянии \(2R\) от оси вращения.
▶ПодсказкаСкрыть
В месте изгиба жидкость покоится относительно платформы, но вблизи оси вращения центробежная сила мала; сравните давление на участке \([R,\,2R]\) с давлением в изгибе.
▶ОтветСкрыть
1) \(P_1 = P_0 + \rho g H\); 2) \(P_2 = P_0 + \rho g H + \dfrac{3}{2}\rho\omega^2 R^2\).
▶РешениеСкрыть
1) Давление в месте изгиба трубки определяется весом столба жидкости высотой \(H\) над ним: \(P_1 = P_0 + \rho g H\).
2) Для элемента горизонтального колена длиной \(\Delta r\) на расстоянии \(r\) от оси разность давлений на его концы создаёт центростремительное ускорение: \((P_2 - P_1)S = S\rho\,\omega^2 r\,\Delta r\). Интегрируя от \(R\) до \(2R\): \(P_2 = P_1 + \dfrac{3}{2}\rho\omega^2 R^2 = P_0 + \rho g H + \dfrac{3}{2}\rho\omega^2 R^2\).
зад 5 Клин, блок и сила трения
Клин массой \(4m\) находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нерастяжимая нить, связывающая грузы, массы которых \(m_1 = 3m\) и \(m_2 = m\). Грузы удерживают, затем отпускают. После этого грузы движутся, а клин покоится. Гладкая наклонная поверхность клина образует с горизонтом угол \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 0{,}8\)).
Найдите ускорение грузов.
Найдите силу трения, действующую на клин со стороны стола.
▶ПодсказкаСкрыть
Проверьте заранее, в какую сторону поедет груз на наклонной поверхности: сравните \(m_1 g\sin\alpha\) с \(m_2 g\). Для клина запишите условие равновесия по горизонтали.
▶ОтветСкрыть
1) \(|a| = \dfrac{7}{20}g\) (груз \(m_1\) скользит вниз по клину, груз \(m_2\) поднимается); 2) \(F_{тр} = \dfrac{63}{100}mg\).
▶РешениеСкрыть
Ускорение грузов: \(a = g\,\dfrac{m_2 - m_1\sin\alpha}{m_1 + m_2} = g\,\dfrac{m - 3m\cdot 0{,}8}{4m} = -\dfrac{7}{20}g\). Знак «минус» означает, что груз \(m_2\) движется вверх, а \(m_1\) — вниз по клину.
Сила натяжения нити: \(T = m_2(g - a) = \dfrac{27}{20}mg\).
Сила трения, действующая на клин со стороны стола: \(F_{тр} = 3mg\cos\alpha\sin\alpha - T\cos\alpha = \dfrac{63}{100}mg\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2015/16, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.