зад 1 Упругий удар шарика о массивный брусок
Шарик, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, догоняет брусок, который движется в том же направлении по этой поверхности. Грань бруска, о которую ударяется шарик, перпендикулярна вектору скорости шарика. Масса бруска много больше массы шарика. После упругого столкновения шарик скользит в противоположном направлении с кинетической энергией, которая в 81 раз меньше его начальной кинетической энергии. Найти отношение начальных скоростей скольжения шарика и бруска.
▶ПодсказкаСкрыть
Удобно перейти в систему отсчёта бруска: там скорость шарика до и после удара отличается только направлением и величиной. Запишите закон сохранения энергии в неподвижной системе.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{V}{u} = \dfrac{9}{4}\), где \(V\) — скорость шарика, \(u\) — скорость бруска.
▶РешениеСкрыть
Скорость шарика относительно бруска до и после удара \(V-u\). После удара скорость шарика \(V-2u\). Из закона сохранения энергии \[\frac{1}{2}m(V-2u)^2 = \frac{1}{81}\cdot\frac{1}{2}mV^2,\] откуда \(V-2u = \dfrac{1}{9}V\), и \[\frac{V}{u} = \frac{9}{4}.\]
зад 2 Клин с блоком и грузами на столе: ускорение, натяжение, реакция
Клин массой \(M\) находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нерастяжимая нить, связывающая грузы, массы которых \(m_1\) и \(m_2\) (см. рис.). Грузы удерживают, затем отпускают. После этого грузы движутся, а клин покоится. Гладкая наклонная поверхность клина образует с горизонтальной плоскостью угол \(\alpha = \pi/6\). Считайте \(M = 2m\), \(m_1 = m\), \(m_2 = 2m\). Массой блока и трением в его оси пренебречь.
Найдите ускорение грузов.
Найдите силу \(T\) натяжения нити.
Найдите силу \(N\) нормальной реакции, действующей на клин со стороны стола.
▶ПодсказкаСкрыть
Нить и блок идеальные, поэтому грузы движутся с одним ускорением по модулю, а сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока. Для ответа на третий вопрос рассмотрите силы, действующие на клин со стороны нитей и грузов, и условие его покоя.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = \dfrac{g}{2}\); 2) \(T = mg\); 3) \(N = \dfrac{17}{4}mg = 4{,}25\,mg\).
▶РешениеСкрыть
1) \(a = \dfrac{2-\sin\alpha}{3}\,g = \dfrac{g}{2}\).
2) \(T = mg\).
3) На клин со стороны стола действует сила нормального давления \[N = \frac{17}{4}\,mg = 4{,}25\,mg.\]
зад 3 Шарик в пробирке на роторе ультрацентрифуги
Ротор ультрацентрифуги вращается вокруг вертикальной оси с частотой \(n = 5\cdot 10^4\) об/мин. На роторе закреплена небольшая пробирка с водой (см. рис.). Ось пробирки горизонтальна, направлена по радиусу ротора, дно пробирки вертикально и находится на расстоянии \(L = 10\) см от оси вращения. В пробирке у дна находится шарик объёмом \(V = 0{,}1\) см\(^3\) и массой \(m = 0{,}25\) г. С какой силой шарик действует на дно пробирки? Плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Удобно работать во вращающейся с ротором системе отсчёта: там на шарик действуют центробежная сила и горизонтальная сила Архимеда от вытесненной воды.
▶ОтветСкрыть
\(F = (m-\rho V)(2\pi n)^2 L \approx 0{,}4\) кН.
▶РешениеСкрыть
Горизонтальная составляющая силы Архимеда \(F_A = \rho V\omega^2 L\), где \(\omega = 2\pi n\). По второму закону Ньютона \(F + F_A = m\omega^2 L\). Окончательно \[F = (m-\rho V)\,(2\pi n)^2 L \approx 0{,}4~\text{кН}.\]
зад 4 Работа газа в процессах P~V и изобаре
Идеальный газ нагревают от объёма \(V_1 = V_0\) до объёма \(V_2 = 2V_0\) в процессе 1-2 прямо пропорциональной зависимости давления от объёма. Затем газ продолжают нагревать от объёма \(V_2\) до объёма \(V_3 = 3V_0\) в изобарическом процессе 2-3. Найти отношение работ газа в процессах 1-2 и 2-3.
▶ПодсказкаСкрыть
Работа газа численно равна площади под графиком \(P(V)\). Для изобарического процесса работа равна \(P\,\Delta V\).
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{A_{12}}{A_{23}} = \dfrac{3}{4}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(P_1 = P\). Тогда \(P_2 = P_3 = 2P\). Работа в процессе 1-2 (трапеция): \(A_{12} = \dfrac{3}{2}PV_0\), работа в процессе 2-3: \(A_{23} = 2PV_0\). Отсюда \[\frac{A_{12}}{A_{23}} = \frac{3}{4}.\]
зад 5 Тепловая машина: гелий, цикл на диаграмме P-T
Рабочим веществом тепловой машины является гелий в количестве \(\nu\). Цикл машины изображён на диаграмме зависимости давления \(P\) от температуры \(T\) (см. рис.). Процесс 1-2 изобарный, процесс 2-3 идёт с прямо пропорциональной зависимостью давления от температуры, процесс 3-1 изотермический. Температуры в состояниях 2 и 1 отличаются в 2 раза. КПД машины равен \(\eta\). Температура в состоянии 1 равна \(T_1\).
Найти работу газа за цикл.
Найти количество теплоты \(Q\) (\(Q>0\)), отведённой от газа за цикл.
Замечание: единица количества вещества — моль.
▶ПодсказкаСкрыть
Нагреватель отдаёт тепло только на изобарном участке 1-2. Работа за цикл связана с КПД через теплоту, полученную на этом участке.
▶ОтветСкрыть
1) \(A = \dfrac{5}{2}\nu R\eta T_1\); 2) \(Q = \dfrac{5}{2}\nu R(1-\eta)T_1\).
▶РешениеСкрыть
\(Q_{12} = \nu C_P(T_2 - T_1) = \nu\dfrac{5}{2}RT_1\) (так как \(T_2 = 2T_1\)). КПД \(\eta = \dfrac{A}{Q_{12}}\), и по первому закону термодинамики за цикл \(Q_{12} - Q = A\).
1) \(A = \dfrac{5}{2}\nu R\eta T_1\).
2) \(Q = \dfrac{5}{2}\nu R(1-\eta)T_1\).
Замечание из официального решения: ответы \(A = (1-\ln 2)\nu RT_1\), \(Q = (1{,}5+\ln 2)\nu RT_1\) тоже правильные.
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2016/17, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.