зад 1 Три бруска, нить и блок: скреплённые и скользящие
Систему из трёх брусков, находящихся на горизонтальном столе, приводят в движение, прикладывая горизонтальную силу \(F\) (см. рис.). Коэффициент трения между столом и брусками и между соприкасающимися брусками \(m_1\) и \(m_2\) равен \(\mu\). Массы брусков \(m_1 = 2m\), \(m_2 = m\), \(m_3 = 3m\). Массой горизонтально натянутой нити, массой блока и трением в его оси пренебречь.
Найти силу натяжения нити, если бруски \(m_1\) и \(m_2\) скрепить, а параметры \(F, m, \mu\) подобрать такими, чтобы бруски двигались по столу как одно целое.
Найти силу натяжения нити, если параметры \(F, m, \mu\) подобраны так, что нескреплённые бруски \(m_1\) и \(m_2\) движутся друг по другу, а бруски \(m_1\) и \(m_3\) по столу.
▶ПодсказкаСкрыть
Для скреплённых брусков запишите второй закон Ньютона для всей системы и для бруска \(m_3\) отдельно. Во втором пункте учтите, что сила трения между \(m_1\) и \(m_2\) зависит от силы нормальной реакции, которая определяется весом брусков.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_0 = \dfrac{F}{4}\); 2) \(T = \dfrac{3}{17}\left(F+2\mu mg\right)\).
▶РешениеСкрыть
1) Ускорение системы \(a_0 = \dfrac{F}{m_1+m_2+m_3} - \mu g\). Для бруска \(m_3\): \(2T_0 - \mu m_3 g = m_3 a_0\). Отсюда \[T_0 = \frac{1}{2}\cdot\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\,F = \frac{F}{4}.\] Замечание: ответ можно записать сразу, так как \(F\) делится пропорционально массам.
2) Связь ускорений: \(a_1 = a_3 + a\), \(a_2 = a_3 - a\) (или \(a_1 + a_2 = 2a_3\)). По второму закону Ньютона \[F - \mu(m_1+m_2)g - \mu m_2 g - T = m_1(a_3+a), \quad \mu m_2 g - T = m_2(a_3 - a), \quad 2T - \mu m_3 g = m_3 a_3.\] Отсюда \[T\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\frac{4}{m_3}\right) = \frac{F}{m_1} + 2\mu g\left(1-\frac{m_2}{m_1}\right).\] При заданном соотношении масс \(T = \dfrac{3}{17}\left(F + 2\mu m g\right)\).
зад 2 Гелий: работы и теплоёмкость в двух процессах
Газообразный гелий расширяется в процессе 1–2, в котором давление прямо пропорционально объёму (см. рис.). Затем газ расширяется в процессе 2–3 с постоянной теплоёмкостью. Работа, совершённая газом в процессе 2–3, в 2 раза больше количества теплоты, полученной газом в процессе 1–2. Температуры в состояниях 1 и 3 равны.
Найти отношение работ, совершённых газом в процессах 2–3 и 1–2.
Найти молярную теплоёмкость газа в процессе 2–3.
▶ПодсказкаСкрыть
Для гелия (одноатомного газа) внутренняя энергия равна \(\frac{3}{2}\nu R T\). Выразите работы и количество теплоты через \(\nu R(T_2 - T_1)\) и используйте первый закон термодинамики для процесса 2–3 с теплоёмкостью \(C\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\dfrac{A_{23}}{A_{12}} = 8\); 2) \(C = -\dfrac{5}{2}R\).
▶РешениеСкрыть
Имеем \(A_{23} = 2Q_{12}\), причём \[A_{12} = \frac{1}{2}P_2V_2 - \frac{1}{2}P_1V_1 = \frac{1}{2}\nu R(T_2-T_1), \qquad Q_{12} = \frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1) + A_{12}.\] Отсюда \(\dfrac{A_{23}}{A_{12}} = 8\).
Для процесса 2–3 с теплоёмкостью \(C\) (с учётом \(T_3 = T_1\)): \[\nu C(T_1 - T_2) = \frac{3}{2}\nu R(T_1-T_2) + A_{23}.\] Отсюда \(C = -\dfrac{5}{2}R\).
зад 3 Бусинки на вращающемся стержне: два заряда
Две бусинки, каждая с положительным зарядом \(q\) и массой \(m\), могут скользить без трения по жёсткому, непроводящему стержню. Систему помещают в однородное магнитное поле с индукцией \(B\) и приводят во вращение с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг оси \(O\), перпендикулярной стержню и параллельной направлению магнитного поля (см. рис.). Оказалось, что шарики находятся в равновесии (относительно стержня) на одном и том же расстоянии \(R\) от оси \(O\) при двух значениях заряда \(q\), равных \(q_1\) и \(q_2\).
Найти \(\omega\), считая известными \(m, R, q_1\) и \(q_2\).
Найти \(B\), считая известными \(m, R, q_1\) и \(q_2\).
Силой тяжести, силами сопротивления, а также магнитным полем, индуцированным бусинками, пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила Кулона между бусинками на расстоянии \(2R\) равна \(\dfrac{kq^2}{4R^2}\). Запишите условие равновесия бусинки в системе, вращающейся вместе со стержнем, для каждого заряда и исключите неизвестное.
▶ОтветСкрыть
1) \(\omega = \sqrt{\dfrac{kq_1q_2}{4R^3m}}\); 2) \(B = \sqrt{\dfrac{km(q_1+q_2)^2}{4R^3q_1q_2}}\).
▶РешениеСкрыть
Для каждой бусинки в равновесии относительно стержня: \[q_1\omega R B - \frac{kq_1^2}{4R^2} = m\omega^2 R, \qquad q_2\omega R B - \frac{kq_2^2}{4R^2} = m\omega^2 R.\] Разделив первое уравнение на \(q_1\), а второе на \(q_2\), получим \[\omega R B - \frac{kq_1}{4R^2} = \frac{m\omega^2 R}{q_1}, \qquad \omega R B - \frac{kq_2}{4R^2} = \frac{m\omega^2 R}{q_2}.\] Исключая \(B\) из системы этих двух уравнений, находим \[\omega = \sqrt{\frac{kq_1q_2}{4R^3m}}.\] Подставив это выражение для \(\omega\) в любое уравнение системы, получим \[B = \sqrt{\frac{km(q_1+q_2)^2}{4R^3q_1q_2}}.\] Замечание. Можно рассмотреть квадратное уравнение относительно \(q\) и использовать теорему Виета.
зад 4 Цепь с катушкой: рост тока после замыкания
В цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы идеальные, их параметры указаны на схеме, причём \(R = 4r\). Ключ \(K\) разомкнут, режим в цепи установился. Ключ замыкают на некоторое время, а затем размыкают. К моменту размыкания скорость роста силы тока в катушке индуктивности уменьшается в 3 раза.
Найти скорость роста силы тока в катушке сразу после замыкания ключа.
Найти силу тока \(I_L\) через катушку непосредственно перед размыканием ключа.
Какое количество теплоты \(Q\) выделится в цепи после размыкания ключа?
▶ПодсказкаСкрыть
Сразу после замыкания ток через катушку ещё равен нулю, поэтому ЭДС самоиндукции уравновешивает напряжение на резисторе \(R\). Перед размыканием используйте правила Кирхгофа для обеих ветвей.
▶ОтветСкрыть
1) \(I'_{0L} = \dfrac{4\varepsilon}{5L}\); 2) \(I_L = \dfrac{2\varepsilon}{3r}\); 3) \(Q = \dfrac{2L\varepsilon^2}{9r^2}\).
▶РешениеСкрыть
1) Сразу после замыкания ключа ток через катушку не идёт. Ток через \(R\) и источник \(I_0 = \dfrac{\varepsilon}{R+r}\). По второму правилу Кирхгофа для контура из \(R\) и катушки \(-LI'_{0L} = -I_0R\). Скорость роста тока сразу после замыкания \[I'_{0L} = \frac{\varepsilon R}{L(R+r)} = \frac{4\varepsilon}{5L}.\]
2) Непосредственно перед размыканием \(\varepsilon - LI'_L = I_\varepsilon r\), \(-LI'_L = -I_R R\), \(I_\varepsilon = I_L + I_R\), \(I'_L = \dfrac{1}{3}I'_{0L}\). Отсюда, при \(R = 4r\), \[I_L = \frac{2}{3}\frac{\varepsilon}{r}.\]
3) \(Q = \dfrac{1}{2}LI_L^2 = \dfrac{2L\varepsilon^2}{9r^2}\).
зад 5 Линза и стержень, движущиеся вдоль оси
Линза с фокусным расстоянием \(F = 24\) см движется со скоростью \(V = 1\) мм/с (см. рис.). Стержень \(AB\) длиной \(h = 1\) см, расположенный перпендикулярно главной оптической оси линзы \(CC_1\), движется со скоростью \(U = 5V/4\). Все движения поступательные вдоль главной оптической оси линзы. В некоторый момент стержень находится на расстоянии \(d = 5F/4\) от линзы.
На каком расстоянии от линзы будет изображение стержня в этот момент?
Какой длины будет изображение стержня в этот момент?
С какой скоростью будет двигаться изображение точки \(A\) стержня в этот момент?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите формулу тонкой линзы; поперечное увеличение равно \(\Gamma = f/d\). Скорость изображения относительно линзы выражается через \(\Gamma^2\) и относительную скорость стержня, а скорость самой линзы нужно прибавить отдельно.
▶ОтветСкрыть
1) \(f = 5F = 120\) см; 2) \(H = 4h = 4\) см; 3) \(v_A = 5V = 5\) мм/с.
▶РешениеСкрыть
1) По формуле линзы \(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F}\), \(f = \dfrac{dF}{d-F} = 5F = 120\) см.
2) Поперечное увеличение \(\Gamma = \dfrac{f}{d} = 4\). Длина изображения \(H = \Gamma h = 4h = 4\) см.
3) Скорость стержня относительно линзы \(V_{ОТН} = U - V = \dfrac{1}{4}V\). Скорость изображения точки \(A\) относительно линзы \(V'_{ОТН} = \Gamma^2 V_{ОТН} = 4V\). Скорость изображения точки \(A\) \[V_A = V'_{ОТН} + V = 5V = 5~\text{мм/с}.\]
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2017/18, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.