зад 1 Бруски, нить и массивная пружина
На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся три бруска, соединённые лёгкой нитью и пружиной жёсткостью \(k = 22\) Н/м (см. рис.). Масса пружины \(m = 0{,}2\) кг и равномерно распределена вдоль оси ненапряжённой пружины. Массы брусков \(m_1 = m\), \(m_2 = 2m\), \(m_3 = 3m\). Под действием горизонтальной силы \(F_0 = 2{,}1\) Н, приложенной к бруску \(m_1\), система движется по столу. При этом длина пружины увеличивается на \(30\%\) по сравнению с длиной ненапряжённой пружины.
Найти ускорение системы.
Найти силу \(T\) натяжения нити.
Найти длину \(L_0\) ненапряжённой пружины.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите ускорение всей системы как целого. Удлинение пружины связано с силами, действующими на её концы; для массивной пружины средняя сила натяжения равна полусумме сил на концах.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = 1{,}5\) м/с\(^2\); 2) \(T = 0{,}9\) Н; 3) \(L_0 = 25\) см.
▶РешениеСкрыть
1) \(a = \dfrac{F_0}{7m} = 1{,}5\) м/с\(^2\).
2) Для бруска \(m_3\): \(T = m_3 a = \dfrac{3}{7}F_0 = 0{,}9\) Н.
3) Для пружины \(k\,\Delta L = \dfrac{1}{2}(F_1 + F_2)\), где \(F_1\) и \(F_2\) — силы на концах пружины. У нас \(F_1 = \dfrac{6}{7}F_0\), \(F_2 = \dfrac{5}{7}F_0\). Тогда \(\Delta L = \dfrac{11}{14}\dfrac{F_0}{k}\). С другой стороны, \(\dfrac{\Delta L}{L_0} = \alpha\), где \(\alpha = 0{,}3\). Отсюда \[L_0 = \frac{11}{14}\,\frac{F_0}{k\alpha} = 25~\text{см}.\]
зад 2 Гелий: сжатие, расширение $p\propto V$ и равенство работ
Газообразный гелий сжимается в процессе 1–2 с постоянной молярной теплоёмкостью \(C = 0{,}5R\). Затем газ расширяется в процессе 2–3, в котором давление прямо пропорционально объёму (см. рис.). В процессе 2–3 к газу подводят количество теплоты \(Q\). Работа внешних сил над газом при сжатии и работа газа при расширении равны.
Найти работу \(A\) внешних сил над газом при сжатии.
Какое количество теплоты \(Q_{12}\) (с учётом знака) получил газ в процессе 1–2?
▶ПодсказкаСкрыть
Работа газа в процессе 2–3 при \(p\propto V\) вычисляется через площадь под графиком, а изменение внутренней энергии гелия равно \(\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T\). Для процесса 1–2 используйте определение молярной теплоёмкости.
▶ОтветСкрыть
1) \(A = \dfrac{Q}{4}\); 2) \(Q_{12} = \dfrac{Q}{8} > 0\).
▶РешениеСкрыть
1) По условию \(A_{23} = -A_{12} = A\). Для процесса 2–3 при \(p\propto V\) \[A_{23} = \frac{1}{2}P_3V_3 - \frac{1}{2}P_2V_2 = \frac{1}{2}\nu R(T_3 - T_2).\] Количество теплоты в процессе 2–3 \[Q = \frac{3}{2}\nu R(T_3 - T_2) + A.\] Отсюда \(A = \dfrac{Q}{4}\).
2) В процессе 1–2 \(Q_{12} = \nu C(T_2 - T_1) = \dfrac{\nu R}{2}(T_2 - T_1)\). С другой стороны, \(Q_{12} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) + (-A)\). Из этих соотношений, с учётом выражения для \(A\), \[Q_{12} = \frac{A}{2} = \frac{Q}{8} > 0.\]
зад 3 Заряженный шарик в поле и у стены
В область однородного магнитного поля с индукцией \(B = 1\) Тл и шириной \(l = 30\sqrt{3}\) см влетает со скоростью \(V = 1\) мм/с положительно заряженный шарик очень малого радиуса с отношением заряда к массе \(\gamma = q/m = 10^{-2}\) Кл/кг (см. рис.). Направление скорости перпендикулярно направлению магнитного поля и левой границе поля. На расстоянии \(b = 15\) см от места, где шарик влетает в область магнитного поля, параллельно его начальной скорости и вектору индукции, располагается непроводящая стена \(AC\).
Найдите радиус кривизны траектории шарика в поле.
Найдите угол между стеной и вектором скорости шарика непосредственно перед первым ударом.
Найдите время движения шарика в поле.
Удары шарика о стену считать абсолютно упругими. Силами сопротивления и силой тяжести пренебречь. Принять \(\pi = 3{,}14\).
▶ПодсказкаСкрыть
Радиус кривизны найдите из второго закона Ньютона для движения в магнитном поле. Геометрия: при ударе о стену радиус, проведённый в точку удара, перпендикулярен скорости, а расстояние от центра окружности до стены равно \(b - R\).
▶ОтветСкрыть
1) \(R = 10\) см; 2) \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\); 3) \(t = \dfrac{4\pi}{\gamma B} \approx 1256\) с.
▶РешениеСкрыть
1) \(\dfrac{mV^2}{R} = qVB\), откуда \(R = \dfrac{mV}{qB} = \dfrac{V}{\gamma B} = 10\) см.
2) Из рисунка \(\cos\alpha = \dfrac{b-R}{R} = \dfrac{1}{2}\), \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\).
3) Точка удара \(N\) отстоит от \(A\) на \(AN = R\sin\alpha = 5\sqrt{3}\) см. Время движения между соседними ударами \[t_{MN} = \frac{(\pi - \pi/3)R}{V} = \frac{2\pi R}{3V} = \frac{2\pi}{3\gamma B}.\] Число таких участков \(\dfrac{l}{AN} = 6\), поэтому \[t = 6\,t_{MN} = \frac{4\pi}{\gamma B} = 1256~\text{с}.\]
зад 4 RC-цепь после замыкания ключа
В цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы идеальные, их параметры указаны на схеме. Ключ \(K\) разомкнут, режим в цепи установился. Затем ключ замыкают. В некоторый момент \(M\) ток через резистор \(R\) оказался в 2 раза меньше максимального тока через него.
Найти максимальный ток \(I_m\) через \(R\) после замыкания ключа.
Найти напряжение \(U_C\) на конденсаторе в момент \(M\).
Найти мощность \(P\), развиваемую источником в момент \(M\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сразу после замыкания конденсатор ещё не заряжен, поэтому максимальный ток определяется сопротивлением \(r + R\). В момент \(M\) напряжение на конденсаторе совпадает с напряжением на \(R\); запишите закон Ома для полной цепи.
▶ОтветСкрыть
1) \(I_m = \dfrac{\varepsilon}{r+R}\); 2) \(U_C = \dfrac{R\varepsilon}{2(r+R)}\); 3) \(P = \dfrac{\varepsilon^2(2r+R)}{2r(r+R)}\).
▶РешениеСкрыть
1) \(I_m = \dfrac{\varepsilon}{r+R}\).
2) \(U_C = \dfrac{1}{2}I_m R = \dfrac{R\varepsilon}{2(r+R)}\).
3) Закон Ома для полной цепи в момент \(M\): \(\varepsilon = Ir + \dfrac{1}{2}I_m R\), откуда \[I = \frac{\varepsilon(2r+R)}{2r(r+R)}, \qquad P = \varepsilon I = \frac{\varepsilon^2(2r+R)}{2r(r+R)}.\]
зад 5 Жук (комар) и линза со стеклянной пластиной
Жук \(S\) ползёт со скоростью \(V = 1\) см/с вдоль главной оптической оси тонкой линзы с фокусным расстоянием \(F = 10\) см (см. рис.). Между жуком и линзой перпендикулярно главной оптической оси расположена стеклянная пластина толщиной \(H = 5\) см с показателем преломления \(n = 5/3\). В некоторый момент жук находится на расстоянии \(d = 14\) см от линзы.
На каком расстоянии от линзы находилось бы изображение жука при отсутствии пластины?
На каком расстоянии от линзы находится изображение жука при наличии пластины?
С какой скоростью движется изображение жука при наличии пластины?
▶ПодсказкаСкрыть
Пластина при малых углах смещает видимое положение предмета к линзе на \(\dfrac{n-1}{n}H\). Затем применяйте формулу тонкой линзы для нового расстояния предмета.
▶ОтветСкрыть
1) \(f_1 = 35\) см; 2) \(f_2 = 60\) см; 3) \(u = 25\) см/с.
▶РешениеСкрыть
1) Без пластины \(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f_1} = \dfrac{1}{F}\), откуда \(f_1 = \dfrac{dF}{d-F} = 35\) см.
2) Из-за пластины предмет смещается к линзе на \[\Delta = \frac{n-1}{n}H = 2~\text{см}, \qquad d_2 = d - \Delta = 12~\text{см}.\] Тогда \(f_2 = \dfrac{d_2F}{d_2 - F} = 60\) см.
3) Поперечное увеличение \(\Gamma = \dfrac{f_2}{d_2} = 5\). Скорость изображения \[u = \Gamma^2 V = 25V = 25~\text{см/с}.\]
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2017/18, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.