зад 1 Три бруска с пружиной: растяжение на 25–35\%
На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся три бруска, соединенные легкой нитью и пружиной жесткостью \(k = 12\) Н/м (см. рис.). Масса пружины \(m = 0{,}2\) кг и равномерно распределена вдоль оси ненапряженной пружины. Массы брусков \(m_1 = 2m\), \(m_2 = 3m\), \(m_3 = 4m\). Под действием горизонтальной силы \(F_0 = 0{,}84\) Н, приложенной к бруску \(m_1\), система движется по столу. При этом длина пружины увеличивается на \(35\%\) по сравнению с длиной ненапряженной пружины.
Найдите ускорение системы.
Найдите силу \(T\) натяжения нити.
Найдите длину \(L_0\) ненатянутой пружины.
▶ПодсказкаСкрыть
Систему удобно рассматривать как целое. Для пружины с распределенной массой используйте то, что её удлинение связано с силами на её концах, и учтите, что сила натяжения пружины в её середине и на концах различается на вклад её массы.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = 0{,}42\) м/с\(^2\); 2) \(T \approx 0{,}34\) Н; 3) \(L_0 = 15\) см.
▶РешениеСкрыть
1) \(a = \dfrac{F_0}{10m} = 0{,}42\) м/с\(^2\).
2) \(T = \dfrac{2}{5}F_0 \approx 0{,}34\) Н.
3) Можно показать, что для удлинения пружины \(k\,\Delta L = \dfrac{1}{2}\left(F_1 + F_2\right)\), где \(F_1\) и \(F_2\) — силы на концах пружины. У нас \(F_1 = \dfrac{4}{5}F_0\), \(F_2 = \dfrac{7}{10}F_0\). Тогда \(\Delta L = \dfrac{3}{4}\dfrac{F_0}{k}\). Из \(\dfrac{\Delta L}{L_0} = \alpha\), где \(\alpha = 0{,}35\), получаем \[L_0 = \frac{3}{4}\,\frac{F_0}{k\alpha} = 15~\text{см}.\]
зад 2 Гелий: теплота и работа при сжатии и расширении
Газообразный гелий сжимается в процессе 1-2, в котором давление прямо пропорционально объёму (см. рис.). Затем газ расширяется в процессе 2-3 с постоянной молярной теплоёмкостью \(C = R\). При сжатии внешние силы совершают над газом работу \(A\) (\(A > 0\)). Работа внешних сил над газом при сжатии и работа газа при расширении равны.
Какое количество \(Q_{12}\) теплоты (с учетом знака) получил газ в процессе 1-2?
Какое количество \(Q_{23}\) теплоты (с учетом знака) получил газ в процессе 2-3?
▶ПодсказкаСкрыть
Работу газа в процессе 1-2 найдите по площади под графиком, учитывая линейную зависимость \(P(V)\), а затем используйте первое начало термодинамики. В процессе 2-3 сравните теплоту с изменением внутренней энергии и работой.
▶ОтветСкрыть
1) \(Q_{12} = -4A\); 2) \(Q_{23} = -2A\).
▶РешениеСкрыть
1) \(A_{12} = -A = \dfrac{1}{2}P_2V_2 - \dfrac{1}{2}P_1V_1 = \dfrac{1}{2}\nu R\left(T_2 - T_1\right)\). \(Q_{12} = \nu\dfrac{3}{2}R\left(T_2 - T_1\right) + \left(-A\right)\). Отсюда \(Q_{12} = -4A < 0\).
2) \(Q_{23} = \nu R\left(T_3 - T_2\right)\), \(Q_{23} = \nu\dfrac{3}{2}R\left(T_3 - T_2\right) + A\). Отсюда \(Q_{23} = -2A < 0\).
зад 3 Шарик в магнитном поле и отверстие в стенке
В область однородного магнитного поля c индукцией \(B = 1\) Тл влетает со скоростью \(V = 1\) мм/с положительно заряженный шарик очень малого радиуса с отношением заряда к массе \(\gamma = q/m = 10^{-2}\) Кл/кг (см. рис.). Направление скорости перпендикулярно направлению магнитного поля и левой границе поля. На расстоянии \(b = 15\) см от места, где шарик влетает в область магнитного поля, параллельно его начальной скорости и вектору индукции магнитного поля, располагается непроводящая стенка AC. В стенке на расстоянии \(x = 25\sqrt{3}\) см сделано отверстие. Протяженность \(l\) поля достаточно велика.
Найдите радиус кривизны траектории шарика в поле.
Найдите угол между стенкой и вектором скорости шарика непосредственно перед первым ударом.
Найдите время движения шарика в поле.
Удары шарика о стенку считать абсолютно упругими. Силами сопротивления и силой тяжести пренебречь. Принять \(\pi = 3{,}14\).
▶ПодсказкаСкрыть
Радиус найдите из второго закона Ньютона для движения в магнитном поле. Для угла удобно выразить косинус через \(b\) и радиус, а для времени — учесть, что шарик многократно возвращается к стенке и каждый его участок дуги одинаков.
▶ОтветСкрыть
1) \(R = 10\) см; 2) \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\); 3) \(t = 1047\) с.
▶РешениеСкрыть
1) \(\dfrac{mV^2}{R} = qVB\). \(R = \dfrac{mV}{qB} = \dfrac{V}{\gamma B} = 10\) см.
2) \(\cos\alpha = \dfrac{b - R}{R} = \dfrac{1}{2}\), \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\).
3) \(AN = R\sin\alpha = 5\sqrt{3}\) см. \[t_{MN} = \frac{\left(\pi - \pi/3\right)R}{V} = \frac{2\pi R}{3V} = \frac{2\pi}{3\gamma B}.\] \(\dfrac{x}{AN} = 5\). \(t = 5t_{MN} = \dfrac{10\pi}{3\gamma B} = 1047\) с.
зад 4 Заряд конденсатора: ток в момент M
В цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы идеальные, их параметры указаны на схеме. Ключ К разомкнут, режим в цепи установился. Затем ключ замыкают. В некоторый момент M ток через резистор \(R\) оказался в 3 раза меньше максимального тока через него.
Найдите максимальный ток \(I_m\) через \(R\) после замыкания ключа.
Найдите напряжение \(U_C\) на конденсаторе в момент M.
Найдите мощность \(P\), развиваемую источником в момент M.
▶ПодсказкаСкрыть
Сразу после замыкания ключа конденсатор ещё не заряжен, и ток через резистор определяется только ЭДС и сопротивлениями цепи. Дальше запишите закон Ома для всей цепи в момент M.
▶ОтветСкрыть
1) \(I_m = \dfrac{\varepsilon}{r + R}\); 2) \(U_C = \dfrac{R\varepsilon}{3(r + R)}\); 3) \(P = \dfrac{\varepsilon^2(3r + 2R)}{3r(r + R)}\).
▶РешениеСкрыть
1) \(I_m = \dfrac{\varepsilon}{r + R}\).
2) \(U_C = \dfrac{1}{3}I_mR = \dfrac{R\varepsilon}{3(r + R)}\).
3) \(\varepsilon = Ir + \dfrac{1}{3}I_mR\). \(I = \dfrac{\varepsilon(3r + 2R)}{3r(r + R)}\). \(P = \varepsilon I = \dfrac{\varepsilon^2(3r + 2R)}{3r(r + R)}\).
зад 5 Мошка (муравей), линза и пластина
Мошка S летит со скоростью \(V = 4\) см/с вдоль главной оптической оси тонкой линзы c фокусным расстоянием \(F = 15\) см (см. рис.). Между мошкой и линзой, перпендикулярно главной оптической оси, расположена стеклянная пластина толщиной \(H = 5\) см с показателем преломления \(n = 5/3\). В некоторый момент мошка находится на расстоянии \(d = 22\) см от линзы.
На каком расстоянии от линзы находилось бы изображение мошки при отсутствии пластины?
На каком расстоянии от линзы находится изображение мошки при наличии пластины?
С какой скоростью движется изображение мошки при наличии пластины?
▶ПодсказкаСкрыть
Пластина для луча, идущего через неё, эквивалентна смещению предмета к линзе на величину \(\dfrac{n-1}{n}H\). Скорость изображения вдоль оси найдите дифференцированием формулы линзы, учитывая поперечное увеличение.
▶ОтветСкрыть
1) \(f_1 \approx 47\) см; 2) \(f_2 = 60\) см; 3) \(u = 36\) см/с.
▶РешениеСкрыть
1) \(\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f_1} = \dfrac{1}{F}\), \(f_1 = \dfrac{dF}{d - F} \approx 47\) см.
2) Из-за пластины предмет сместится к линзе на \(\Delta = \dfrac{n - 1}{n}H = 2\) см. \(d_2 = d - \Delta = 20\) см. \(f_2 = \dfrac{d_2F}{d_2 - F} = 60\) см.
3) Поперечное увеличение \(\Gamma = \dfrac{f_2}{d_2} = 3\). Скорость изображения \(u = \Gamma^2V = 9V = 36\) см/с.
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2017/18, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.