Физтех, 2017/18, заключительный этап, 9 класс

Для неподвижных грузов сравните натяжения нитей, идущих к каждому грузу. Во втором случае запишите второй закон Ньютона для каждого груза и учтите связь ускорений через нерастяжимость нити.

1) \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{1}{2}\);  2) \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{3}{8}\).

1) Условие равновесия грузов: \(T = m_1g\); \(2T = m_2g\), откуда \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{1}{2}\).

2) Уравнения движения грузов (\(T\) — сила натяжения нити): \[T - m_1g = m_1a_1, \qquad m_2g - 2T = m_2a_2.\] Из них \(\left(m_2 - 2m_1\right)g = m_2a_2 + 2m_1a_1\). Т.к. нить нерастяжима, то \(a_1 = 2a_2\). Тогда \(\left(m_2 - 2m_1\right)g = \left(2m_1 + \dfrac{m_2}{2}\right)a_1 = \left(2m_1 + \dfrac{m_2}{2}\right)\dfrac{g}{5}\), откуда \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{3}{8}\).

Удобно отсчитывать время от момента, когда первый мячик достигает верхней точки, и использовать, что вверх и вниз мячик движется симметрично по времени и высоте.

\(H_0 = 2{,}4\) м.

\(H_0 = \dfrac{V_0^2}{2g} \Rightarrow V_0 = \sqrt{2gH_0}\). (1)

\(t\) — время до столкновения, отсчитанное от момента достижения 1-м мячиком высоты \(H_0\). \[\frac{gt^2}{2} + \left(V_0t - \frac{gt^2}{2}\right) = H_0, \qquad t = \frac{H_0}{V_0}.\] \[H_0 - H = \frac{gt^2}{2} = \frac{g}{2}\cdot\frac{H_0^2}{V_0^2} = \frac{g}{2}\cdot\frac{H_0^2}{2gH_0} = \frac{H_0}{4} \quad\Rightarrow\quad H_0 = \frac{4}{3}H = \frac{4}{3}\cdot 1{,}8 = 2{,}4~\text{м}.\]

Относительное движение начнётся, когда сила трения покоя между бруском и доской достигнет предельного значения \(\mu mg\). Дальше сравните ускорения доски и бруска и используйте их относительное ускорение.

1) \(F_{\text{мин}} = 4\mu mg\);  2) \(\tau = \sqrt{\dfrac{6mL}{F - 4\mu mg}}\).

1) \(F = F_{\text{мин}}\), если брусок движется относительно доски без ускорения. \[\begin{aligned} F_{\text{мин}} - \mu mg &= 3ma, \\ \mu mg &= ma \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad \frac{F_{\text{мин}} - \mu mg}{\mu mg} = 3, \qquad F_{\text{мин}} = 4\mu mg.\]

2) При \(F > F_{\text{мин}}\): \[F - \mu mg = 3ma_1, \quad a_1 = \frac{F}{3m} - \frac{\mu g}{3}; \qquad \mu mg = ma_2, \quad a_2 = \mu g.\] Относительное ускорение \(a_{1\,\text{отн}} = a_1 - a_2 = \dfrac{F}{3m} - \dfrac{4}{3}\mu g\). Из \(L = \dfrac{a_{1\,\text{отн}}\tau^2}{2}\) получаем \[\tau = \sqrt{\frac{2L}{a_{1\,\text{отн}}}} = \sqrt{\frac{6mL}{F - 4\mu mg}}.\]

В начальном состоянии сила Архимеда уравновешивает вес бруска, а пружина не деформирована. В конечном состоянии брусок полностью погружен, и растяжение пружины определяется разностью силы Архимеда и веса.

1) \(M = \dfrac{3}{4}\rho a^2H\);  2) \(h = \dfrac{H}{4}\left(1 + \dfrac{a^2\rho g}{k}\right)\).

1) Условие равновесия вначале: \(\rho_{\text{б}}a^2Hg = \rho a^2\cdot\dfrac{3}{4}Hg\), откуда \(\rho_{\text{б}} = \dfrac{3}{4}\rho\). Масса бруска: \(M = \rho_{\text{б}}a^2H = \dfrac{3}{4}\rho a^2H\).

2) Условие равновесия в конце (\(\Delta l\) — деформация пружины): \[\rho a^2Hg = \rho_{\text{б}}a^2Hg + k\Delta l = \frac{3}{4}\rho a^2Hg + k\Delta l \quad\Rightarrow\quad \Delta l = \frac{\rho a^2Hg}{4k}.\] \[h = \frac{H}{4} + \Delta l = \frac{H}{4}\left(1 + \frac{a^2\rho g}{k}\right).\]

Используйте симметрию каркаса: между двумя ближайшими узлами квадратной ячейки сопротивления соединены параллельно и последовательно. Затем рассмотрите ячейку как эквивалентное сопротивление всего каркаса.

1) \(R = 18\) Ом;  2) \(r = 32\) Ом.

1) \(R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{9}{1/2} = 18\) Ом.

2) Сопротивление квадратной ячейки между двумя ближайшими точками: \[r_{\text{кв}} = \frac{3r\cdot r}{3r + r} = \frac{3}{4}r.\] \[R = \frac{3r_{\text{кв}}\cdot r_{\text{кв}}}{3r_{\text{кв}} + r_{\text{кв}}} = \frac{3}{4}r_{\text{кв}}.\] Из этих соотношений: \(R = \dfrac{9}{16}r\), откуда \(r = \dfrac{16}{9}R = \dfrac{16}{9}\cdot 18 = 32\) Ом.