зад 1 Выстрелы из пушки на склоне горы
Пушка установлена на плоском склоне горы, образующем угол \(\alpha=30^\circ\) с горизонтом. При выстреле «вверх» по склону снаряд падает на склон на расстоянии \(S_1=700\) м от места выстрела. В момент падения скорость снаряда перпендикулярна поверхности склона. Пушку разворачивают на \(180^\circ\) и производят второй выстрел «вниз» по склону. Затем пушку перемещают на горизонтальную поверхность и производят третий выстрел. Ускорение свободного падения \(g=10\) м/с\(^2\). Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Угол наклона ствола к поверхности, с которой стреляют, при всех выстрелах одинаков.
На каком расстоянии \(S_2\) от места второго выстрела снаряд упадёт на склон?
Найдите дальность \(L\) стрельбы при третьем выстреле.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость в момент падения перпендикулярна склону, поэтому угол её направления к склону известен. Сравните времена полёта при выстрелах вверх и вниз по склону.
▶ОтветСкрыть
1) \(S_2=2100\) м; 2) \(L=\sqrt{3}\,S_1\approx1212\) м.
▶РешениеСкрыть
Время полёта (одинаково при выстреле вверх по склону и вниз): \[t_п=\frac{2V_0\sin\beta}{g\cos\alpha}=\frac{V_0\cos\beta}{g\sin\alpha} \quad\Rightarrow\quad \frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\cos\alpha}{2\sin\alpha}\qquad(1)\] При выстреле вверх по склону: \[S_1=\frac{V_0^2\cos^2\beta}{2g\sin\alpha}\qquad(2)\] 1) При выстреле вниз по склону: \(S_2=\dfrac{3}{2}\,\dfrac{V_0^2\cos^2\beta}{g\sin\alpha}=3S_1=2100\) м.
2) При выстреле вдоль горизонтальной поверхности: \[L=\frac{2V_0^2\sin\beta\cos\beta}{g}\qquad(3)\] (1),(2) → (3): \(L=2S_1\cos\alpha\), откуда \(L=\sqrt{3}\,S_1\approx1212\) м.
зад 2 Шарик на нити и сдвигающийся брусок (шайба в чаше)
На шероховатой горизонтальной поверхности стола покоится чаша. Внутренняя поверхность чаши — гладкая полусфера радиуса \(R\). На дне чаши лежит небольшая шайба массы \(m\). Масса чаши \(3m\). Ударом шайбе сообщают горизонтальную скорость \(V_0=\sqrt{2gR}\), здесь \(g\) — ускорение свободного падения. Скольжение чаши начинается в тот момент времени, когда вектор скорости шайбы повернётся на угол \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\).
С какой силой \(P\) шайба действует на чашу в этот момент?
Вычислите коэффициент \(\mu\) трения скольжения чаши по столу.
▶ПодсказкаСкрыть
Закон сохранения энергии даёт скорость шайбы в нужной точке, а второй закон Ньютона в проекции на радиус полусферы — силу реакции. Для чаши запишите условие начала скольжения: горизонтальная составляющая силы шайбы равна предельной силе трения.
▶ОтветСкрыть
1) \(P=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,mg\approx2{,}6\,mg\); 2) \(\mu=\dfrac{\sqrt{3}}{7}\approx0{,}25\).
▶РешениеСкрыть
ЗСЭ для шайбы: \(\dfrac{mV_0^2}{2}=\dfrac{mV^2}{2}+mgh\), \(h=R(1-\cos\alpha)\); \(a_ц=\dfrac{V^2}{R}=2g\cos\alpha\).
1) \(|P|=|N|=m\left(a_ц+g\cos\alpha\right)=3mg\cos\alpha=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,mg\approx2{,}6\,mg\).
2) Чаша начнёт скользить при \(P\sin\alpha=\mu\left(3mg+P\cos\alpha\right)\), откуда \[\mu=\frac{P\sin\alpha}{3mg+P\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha\sin\alpha}{1+\cos^2\alpha} =\frac{\sqrt{3}}{7}\approx0{,}25 .\]
зад 3 Упругое столкновение гладких дисков
Гладкая упругая шайба радиуса \(R\), движущаяся со скоростью \(V_0\), упруго сталкивается с такой же шайбой, покоящейся на гладкой горизонтальной поверхности. В результате столкновения скорость налетающей шайбы уменьшается вдвое.
Найдите расстояние \(d\) от центра покоившейся шайбы до прямой, по которой двигался центр налетающей шайбы.
Через какое время \(T\) после соударения расстояние между центрами шайб будет равно \(S\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Удар происходит вдоль линии, соединяющей центры шайб; закон сохранения импульса даёт проекцию скорости налетающей шайбы на нормаль к этой линии. После удара скорости шайб взаимно перпендикулярны.
▶ОтветСкрыть
1) \(d=R\); 2) \(T=\dfrac{\sqrt{S^2-R^2}-\sqrt{3}\,R}{V_0}\).
▶РешениеСкрыть
После соударения из ЗСИ: \(V_1=V_0\sin\alpha=\dfrac{V_0}{2}\) (1).
1) Из (1): \(\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\alpha=30^\circ\), \(d=R\).
2) После соударения шайбы разлетаются под прямым углом: \[(V_1T)^2+(2R+TV_2)^2=S^2;\qquad T^2\left(V_2^2+V_1^2\right)+4RV_2T+4R^2-S^2=0,\] \[T=\frac{-4RV_2+\sqrt{4S^2\left(V_2^2+V_1^2\right)-16R^2V_1^2}}{2\left(V_2^2+V_1^2\right)} =\frac{\sqrt{S^2-R^2}-\sqrt{3}\,R}{V_0}.\]
зад 4 Охлаждение и нагревание воздуха под поршнем с трением
Горизонтальный цилиндр длины \(L=0{,}5\) м вначале открыт в атмосферу и заполнен воздухом при температуре \(T_0=300\) K. Цилиндр плотно закрывают тонким поршнем и охлаждают. Поршень смещается и останавливается на расстоянии \(h=0{,}4\) м от дна. Далее цилиндр нагревают до температуры \(T_0\), при которой поршень останавливается на расстоянии \(H=0{,}46\) м от дна. Атмосферное давление \(P_0=100\) кПа, площадь поперечного сечения цилиндра \(S=0{,}1\) м\(^2\). Внутренняя энергия воздуха \(U=\dfrac{5}{2}PV\), где \(P\) — давление, \(V\) — объём. Считать силу трения, действующую на поршень, постоянной в процессе движения поршня.
До какой температуры \(T_1\) был охлаждён воздух в цилиндре?
Найдите силу трения \(F_{\text{тр}}\), действующую на поршень в процессе движения поршня.
Какое количество \(Q\) теплоты подвели к воздуху в цилиндре в процессе нагревания к тому моменту, когда поршень начал смещаться?
▶ПодсказкаСкрыть
Условие равновесия поршня при движении связывает давления по обе стороны с силой трения. Для процесса при постоянном объёме количество теплоты равно изменению внутренней энергии.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1=T_0\left(\dfrac{2h}{L}-\dfrac{h}{H}\right)\approx219\) K; 2) \(F_{\text{тр}}=\dfrac{20}{23}\) кН\(\approx870\) Н; 3) \(Q=\dfrac{40}{23}\) кДж\(\approx1{,}7\) кДж.
▶РешениеСкрыть
1) \(\begin{cases}P_1S+F_{\text{тр}}=P_0S\\ P_2S=P_0S+F_{\text{тр}}\end{cases} \Rightarrow P_1+P_2=2P_0\) (1).
\(\dfrac{P_0V_0}{T_0}=\dfrac{P_2V_2}{T_0}\Rightarrow P_2=P_0\dfrac{V_0}{V_2}\) (2).
(2)→(1): \(\dfrac{P_1}{P_0}=2-\dfrac{V_0}{V_2}\) (3); \(\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_0V_0}{T_0}\Rightarrow T_1=T_0\dfrac{P_1V_1}{P_0V_0}\) (4).
(3)→(4): \(T_1=T_0\left(\dfrac{2h}{L}-\dfrac{h}{H}\right)=300\left(2\cdot\dfrac{0{,}4}{0{,}5}-\dfrac{0{,}4}{0{,}46}\right) =219\dfrac{3}{23}\approx219\) K.
2) \(F_{\text{тр}}=S(P_2-P_0)=P_0S\left(\dfrac{L-H}{H}\right)=\dfrac{20\cdot10^3}{23}=\dfrac{20}{23}\) кН\(\approx870\) Н.
3) \(V=\text{const}\): \(Q_{V_2}=\Delta U=5hSP_0\left(\dfrac{L}{H}-1\right)=\dfrac{40}{23}\) кДж\(\approx1{,}7\) кДж.
зад 5 Смешивание газов в теплоизолированном сосуде
Теплоизолированный цилиндр объёмом \(V\) разделён на две части перегородкой. В одной части находится водород в количестве \(\nu\) при температуре \(T_1\), а в другой — азот в количестве \(1{,}5\nu\) при температуре \(\dfrac{5}{4}T_1\) и другом давлении. Перегородка прорывается.
Какая температура \(T_2\) установится в смеси?
Найти давление \(P\) в смеси.
▶ПодсказкаСкрыть
Теплообмена с внешней средой и работы нет, поэтому полная внутренняя энергия смеси сохраняется. Внутренняя энергия смеси равна сумме внутренних энергий её компонентов.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_2=1{,}15\,T_1\); 2) \(P=2{,}875\,\dfrac{\nu RT_1}{V}\).
▶РешениеСкрыть
\(U=\text{const}\).
1) \(U=\dfrac{5}{2}R\nu T_1+\dfrac{5}{2}R\cdot1{,}5\nu\cdot\dfrac{5}{4}T_1=\dfrac{115}{16}\,\nu RT_1\); \(U=2{,}5\,\nu\,C_{V\text{см}}\,T_2\), \(C_{V\text{см}}=\dfrac{5}{2}R\); \(U=6{,}25\,\nu RT_2\); откуда \(T_2=1{,}15\,T_1\).
2) \(P=\dfrac{2{,}5\,\nu RT_2}{V}=2{,}875\,\dfrac{\nu RT_1}{V}\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2018/19, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.