зад 1 Шайба на подвижном клине
На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится клин. Гладкая наклонная поверхность клина образует с горизонтом угол \(\alpha\) такой, что \(\cos\alpha=0{,}6\). Если шайбе, находящейся у основания клина, сообщить начальную скорость \(V_0\) вдоль поверхности клина (см. рис.), то к моменту достижения шайбой высшей точки траектории скорость шайбы уменьшается в \(n=5\) раз. В процессе движения шайба безотрывно скользит по клину, а клин — по столу. Ускорение свободного падения \(g\). Известными считать \(V_0\), \(n\) и \(\alpha\).
Найдите отношение \(m/M\) массы шайбы к массе клина.
На какую максимальную высоту \(H\), отсчитанную от точки старта, поднимается шайба в процессе движения по клину?
Через какое время \(T\) после старта шайба поднимается на максимальную высоту?
▶ПодсказкаСкрыть
В высшей точке скорость шайбы горизонтальна и совпадает со скоростью клина. Горизонтальная составляющая импульса системы «шайба–клин» сохраняется, а механическая энергия системы — тоже.
▶ОтветСкрыть
1) \(\dfrac{m}{M}=\dfrac{1}{2}\); 2) \(H=\dfrac{11V_0^2}{25g}\); 3) \(T=\dfrac{11V_0}{10g}\).
▶РешениеСкрыть
1) \(mV_0\cos\alpha=(M+m)\dfrac{V_0}{5}\), откуда \(\dfrac{m}{M}=\dfrac{1}{2}\).
2) \(\dfrac{1}{2}mV_0^2=\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{V_0}{5}\right)^2+mgH\), откуда \(H=\dfrac{11V_0^2}{25g}\).
3) Направим ось \(x\) под углом \(\alpha\) к горизонту вверх. В ЛСО \(a_x=-g\sin\alpha\): \(\dfrac{V_0}{5}\cos\alpha=V_0+(-g\sin\alpha)T\), откуда \(T=\dfrac{11V_0}{10g}\).
Второй способ решения. В СО клина \(a_{\text{отн}}=\text{const}\) (доказательство не требуется). Тогда \(T=\dfrac{S}{V_{\text{ср}}}=\dfrac{S}{\frac{1}{2}(V_0+0)}=\dfrac{2S}{V_0}\), где \(S=\dfrac{H}{\sin\alpha}=\dfrac{11V_0^2}{20g}\), и \(T=\dfrac{11V_0}{10g}\).
зад 2 Вода, пар и газ в двух отсеках с поршнем
Подвижный поршень делит объём горизонтально расположенного сосуда на два отсека с общим объёмом \(V=150\) л. В первый отсек ввели \(\nu_1=1\) моль воды, а во второй ввели \(\nu_2=2\) моль азота. Можно считать, что объём введённой воды намного меньше \(V\). В отсеках установилась температура \(T_1=275\) K. Сосуд вместе с содержимым прогревают до температуры \(T_2=373\) K. Давление насыщенного пара воды при температуре \(T_1=275\) K равно \(P_{\text{H}}=705\) Па. Плотность воды \(\rho=1\) г/см\(^3\).
Найти давление \(P_1\) в сосуде до прогревания.
Найти объём \(V_1\) первого отсека до прогревания.
Найти давление \(P_2\) в сосуде после прогревания.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните количество воды с количеством вещества, которое нужно для насыщения пара при \(T_1\). Во втором пункте учтите плотность воды и её массу. В третьем пункте предположите, что вся вода испарилась, и проверьте это сравнением с давлением насыщенного пара при \(T_2\).
▶ОтветСкрыть
1) \(P_1\approx0{,}3\cdot10^5\) Па; 2) \(V_1=18\) см\(^3\); 3) \(P_2\approx0{,}62\cdot10^5\) Па.
▶РешениеСкрыть
1) При \(T_1\) пара нет. \(P_1=\dfrac{\nu_2RT_1}{V}\approx0{,}3\cdot10^5\) Па.
2) В первом отсеке только вода массой 18 г, её объём \(V_1=18\) см\(^3\).
3) Предположим, что вся вода испарилась. Тогда \(P_2=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)RT_2}{V}\approx0{,}62\cdot10^5\) Па. Это меньше давления насыщенного пара при \(T_2\), т.е. предположение верно. Итак, \(P_2\approx0{,}62\cdot10^5\) Па.
зад 3 Включение катушки: скорость изменения энергии и мощность
В электрической цепи (см. рис.) все элементы идеальные, их параметры указаны. Ключ \(K\) замыкают.
Найти напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания ключа.
Найти максимальную скорость изменения энергии \(N_m\) в катушке индуктивности.
Найти скорость изменения тока в цепи в момент, когда скорость изменения энергии в катушке равна \(\dfrac{24}{49}\) от максимальной скорости \(N_m\).
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость изменения энергии катушки равна произведению напряжения на катушке и тока. Выразите ток через напряжение на катушке по закону Ома для всей цепи и найдите максимум этой зависимости по напряжению.
▶ОтветСкрыть
1) \(U_0=E\); 2) \(N_m=\dfrac{E^2}{4R}\); 3) \(I'_1=\dfrac{6}{7}\dfrac{E}{L}\) или \(I'_2=\dfrac{1}{7}\dfrac{E}{L}\).
▶РешениеСкрыть
1) \(U_0=E\).
2) Пусть \(U\) — напряжение на катушке. \(N=UI\), \(E=U+IR\). Тогда \(N=-\dfrac{U^2}{R}+U\dfrac{E}{R}\). Максимальная скорость изменения энергии \(N_m\) достигается при \(U=\dfrac{E}{2}\): \(N_m=\dfrac{E^2}{4R}\).
3) \(U=LI'\), \(N=-\dfrac{U^2}{R}+U\dfrac{E}{R}\), \(N=\alpha N_m=\alpha\dfrac{E^2}{4R}\), \(\alpha=\dfrac{24}{49}\). Отсюда \(I'=\dfrac{E}{2L}\left(1\pm\sqrt{1-\alpha}\right)\), \(I'_1=\dfrac{6}{7}\dfrac{E}{L}\), \(I'_2=\dfrac{1}{7}\dfrac{E}{L}\).
зад 4 Рамка в поле переменного соленоида
По длинному соленоиду пропускается переменный ток, изменяющийся по гармоническому закону с циклической частотой \(\omega\). В результате вдали от торцов соленоида возникает однородное магнитное поле с максимальной индукцией \(B_0\). В плоскости торца соленоида между двумя закреплёнными тонкими гладкими стеклянными пластинами помещена прямоугольная жёсткая рамка из проволоки со сторонами \(a\) и \(2a\) (см. рис.). Зазор между пластинами незначительно больше диаметра проволоки. Сопротивление единицы длины проволоки — \(\rho\). Индуктивность рамки не учитывать. Размеры рамки сравнимы с диаметром соленоида.
Найти максимальный ток в рамке.
Найти максимальную силу натяжения длинной стороны рамки.
▶ПодсказкаСкрыть
Поле на торце соленоида отличается от поля внутри него. Найдите поток через рамку и ЭДС индукции; сопротивление рамки пропорционально её периметру.
▶ОтветСкрыть
1) \(I_0=\dfrac{1}{6}\dfrac{B_0\omega a}{\rho}\); 2) \(F_0=\dfrac{1}{48}\dfrac{B_0^2\omega a^2}{\rho}\).
▶РешениеСкрыть
1) Пусть \(b=2a\) — длина длинной стороны. Направим ось \(x\) вдоль оси соленоида. В любой точке на торце соленоида \(B_x(t)=\dfrac{1}{2}B_0\cos\omega t\). Магнитный поток \(\Phi=B_x(t)\,ab=\dfrac{1}{2}B_0ab\cos\omega t\). ЭДС \(\varepsilon=-\Phi'=-\dfrac{1}{2}B_0ab\omega\sin\omega t\). Ток \[I=\frac{\varepsilon}{2(a+b)\rho}=-\frac{1}{4}\,\frac{B_0ab\,\omega\sin\omega t}{(a+b)\rho}.\] Максимальный ток \(I_0=\dfrac{1}{4}\dfrac{B_0\omega}{\rho}\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{1}{6}\dfrac{B_0\omega a}{\rho}\).
2) Сила натяжения (сжатия) стороны \(b\) равна \[F(t)=\frac{1}{2}B_x(t)\,I(t)\,a=-\frac{1}{32}\,\frac{B_0^2\omega}{\rho}\,\frac{a^2b}{a+b}\,\sin2\omega t.\] Максимальная сила натяжения \(F_0=\dfrac{1}{32}\dfrac{B_0^2\omega}{\rho}\dfrac{a^2b}{a+b}=\dfrac{1}{48}\dfrac{B_0^2\omega a^2}{\rho}\).
зад 5 Изображение в рассеивающей линзе и движущемся зеркале
На главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием \(F=-30\) см находится муравей \(S\) на расстоянии \(d_1=45\) см от линзы (см. рис.). По другую сторону линзы находится плоское зеркало, перемещающееся вдоль главной оптической оси линзы со скоростью \(V=6\) мм/с. В некоторый момент времени \(t_0\) зеркало было на расстоянии \(L=6\) см от линзы.
На каком расстоянии от линзы получится изображение муравья при отсутствии зеркала?
На каком расстоянии от линзы получится изображение муравья в момент времени \(t_0\) в системе линза–зеркало?
С какой скоростью движется изображение муравья в момент времени \(t_0\) в системе линза–зеркало?
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите изображение в линзе без зеркала. Затем рассмотрите это изображение как предмет для зеркала и снова для линзы (зеркало даёт изображение симметрично себе). Скорость изображения в плоском зеркале вдвое больше скорости зеркала.
▶ОтветСкрыть
1) \(18\) см слева от линзы (мнимое); 2) \(15\) см справа от линзы; 3) \(u=3\) мм/с.
▶РешениеСкрыть
1) Изображение \(S_1\) в линзе на расстоянии 18 см от линзы, слева от неё, мнимое.
2) Изображение \(S_2\) в зеркале на расстоянии 24 см от зеркала, справа. \(S_2\) — источник для линзы, \(d_2=30\) см. \(f_2=\dfrac{d_2F}{d_2-F}=-15\) см. Изображение \(S_3\) в системе на расстоянии 15 см от линзы (справа).
3) Скорость \(S_2\) равна \(2V\). \(\dfrac{u}{2V}=\Gamma^2\), \(\Gamma=\dfrac{|f_2|}{d_2}=\dfrac{1}{2}\). Скорость изображения в системе \(u=\dfrac{1}{2}V=3\) мм/с.
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2018/19, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.