Физтех, 2018/19, заключительный этап, 11 класс

Что уравновешивает подъёмная сила, а что — сила тяги при установившемся полёте? Как КПД связывает полезную работу тяги с теплотой, выделившейся при сгорании топлива?

1) \(x = \dfrac{1}{K} = \dfrac{1}{20}\);  2) \(\alpha = 0{,}05\).

1) Подъёмная сила \(F_\text{п} = mg\), сила тяги \(F_\text{т} = F_\text{сопр}\). Тогда \(F_\text{т}/mg = 1/K = 1/20\).

2) КПД: \(\eta = \dfrac{F_\text{т} L}{q\,m_\text{т}}\). Из равенства подъёмной силы весу и условия \(K = \dfrac{mg}{F_\text{т}}\) получаем \[\alpha = \frac{m_\text{т}}{m} = \frac{gL}{Kq\eta} = 0{,}05 .\]

Продолжение прямой 1–2 проходит через начало координат: что это за процесс? Какая работа совершается газом при изобарном расширении?

1) \(T_\text{max} = T_2 = 200\) К;  2) \(A_{12} \approx 831\) Дж;  3) \(\eta \approx 0{,}12\).

1) \(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{2V_1}{V_1}\), откуда \(T_\text{max} = T_2 = 2T_1 = 200\) К.

2) Процесс 1–2 — изобара. \(A_{12} = P_1(V_2 - V_1) = P_1 V_1 = \nu R T_1 \approx 831\) Дж.

3) КПД: \[\eta = \frac{A_{12} - A_{31}}{Q_{12}} = \frac{A_{12} - A_{31}}{\nu C_P (T_2 - T_1)} = \frac{2}{5}\left(1 - \frac{A_{31}}{\nu R T_1}\right) \approx 0{,}12 .\]

Скорость изменения энергии конденсатора равна мощности, которую он получает от источника за вычетом мощности на резисторе. Удобно записать её как функцию напряжения на конденсаторе и найти её максимум.

1) \(I_\text{max} = \dfrac{E}{R}\);  2) \(N_\text{m} = \dfrac{E^2}{4R}\);  3) \(U_1 = \dfrac{5}{6}E\) или \(U_2 = \dfrac{1}{6}E\).

1) \(I_\text{M} = \dfrac{E}{R}\).

2) Пусть \(U\) — напряжение на конденсаторе. Тогда \(N = UI\), \(E = U + IR\), и \[N = -\frac{U^2}{R} + U\,\frac{E}{R} .\] Максимум по \(U\) достигается при \(U = E/2\), и \(N_\text{M} = \dfrac{E^2}{4R}\).

3) Условие \(N = \alpha N_\text{M}\) с \(\alpha = 5/9\) даёт \(U = \dfrac{E}{2}\left(1 \pm \sqrt{1 - \alpha}\right)\), т.е. \(U_1 = \dfrac{5}{6}E\), \(U_2 = \dfrac{1}{6}E\).

Для первого пункта подойдёт закон сохранения энергии в контуре с конденсатором и катушкой \(L_1\). Для второго и третьего пунктов помогут сохранение суммы магнитных потоков через катушки и закон сохранения энергии.

1) \(I_0 = \dfrac{2}{3}U_0\sqrt{\dfrac{2C}{L}}\);  2) \(U_C = 0\);  3) \(Q = \dfrac{41}{90}CU_0^2\).

1) ЗСЭ: \(\dfrac{1}{2}CU_0^2 = \dfrac{1}{2}C\left(\dfrac{U_0}{3}\right)^2 + \dfrac{1}{2}LI_0^2\). Отсюда \[I_0 = \sqrt{\frac{8}{9}\frac{CU_0^2}{L}} = \frac{2}{3}U_0\sqrt{\frac{2C}{L}} .\]

2) \(U_C = 0\).

3) Пусть \(I_1\) — установившийся ток через катушки. Сумма магнитных потоков сохраняется: \(LI_0 = LI_1 + 2LI_1 + 3LI_1 + 4LI_1\), откуда \(I_1 = \dfrac{1}{10}I_0\). По ЗСЭ: \[Q = \frac{1}{2}CU_0^2 - \frac{1}{2}\left(L + 2L + 3L + 4L\right)I_1^2 = \frac{1}{2}CU_0^2 - 5LI_1^2 = \frac{1}{2}CU_0^2 - \frac{1}{20}LI_0^2 = \frac{41}{90}CU_0^2 .\]

Сначала найдите изображение в линзе; оно играет роль мнимого предмета для зеркала. Изображение в зеркале станет источником для линзы — дальше тот же расчёт, что и в первом пункте.

1) \(f_1 = 48\) см;  2) \(f_2 = 48\) см от линзы;  3) \(u = 8\) мм/с.

1) Изображение \(S_1\) в линзе на расстоянии \(f_1 = 48\) см от линзы, справа от неё, действительное.

2) \(S_1\) — мнимый предмет для зеркала. Изображение \(S_2\) в зеркале действительное, слева от зеркала, на расстоянии 12 см от зеркала. \(S_2\) — источник для линзы, \(d_2 = 24\) см: \[f_2 = \frac{d_2 F}{d_2 - F} = 48~\text{см}.\] Изображение \(S_3\) в системе на расстоянии \(f_2 = 48\) см от линзы (слева, действительное).

3) Скорость \(S_2\) равна \(2V\). Для изображения \(\dfrac{u}{2V} = \Gamma^2\), где \(\Gamma = \dfrac{f_2}{d_2} = 2\). Отсюда \(u = 8V = 8\) мм/с.