Физтех, 2018/19, заключительный этап, 9 класс

При самом быстром заплыве скорость пловца относительно воды перпендикулярна берегу. Какой путь проходит пловец поперёк реки и какой вдоль неё за время \(\tau\)?

1) \(V = 2\) м/с;  2) \(u = 1\) м/с;  3) \(T = \dfrac{200}{\sqrt{3}} \approx 115\) с.

1) При минимальном времени заплыва скорость пловца относительно воды перпендикулярна берегу. Тогда \(V = \dfrac{S}{\tau} = 2\) м/с.

2) \(u = \dfrac{d}{\tau} = 1\) м/с.

3) Скорость \(\vec v_1\) пловца относительно берега. Снос минимален, если угол \(\alpha\) между \(\vec V\) и \(\vec v_1\) максимален, т.е. \(\vec v_1 \perp \vec u\). Тогда \(\sin\alpha = \dfrac{u}{V} = 0{,}5\), \(\alpha = 30^\circ\). Из треугольника скоростей \[T = \frac{d}{u\cos\alpha} = \frac{200}{\sqrt{3}} \approx 115~\text{с}.\]

Разложите движение на составляющие вдоль склона и перпендикулярно ему. Скорость мяча перпендикулярна склону тогда, когда расстояние до склона максимально.

1) \(V_0 = 12\) м/с;  2) \(t_1 = \dfrac{2\sqrt{3}}{5} \approx 0{,}7\) с;  3) \(H = \dfrac{6\sqrt{3}}{5} \approx 2{,}1\) м.

1) \(\vec V_1 = \vec V_0 + \vec g\tau\), причём \(\vec V_0 \perp \vec g\tau\). Из треугольника скоростей \(V_0 = \sqrt{V_1^2 - (g\tau)^2} = 12\) м/с.

2) \(t_1 = \dfrac{V_0\sin\alpha}{g\cos\alpha} = \dfrac{2\sqrt{3}}{5} \approx 0{,}7\) с.

3) \(H = \dfrac{(V_0\sin\alpha)^2}{2g\cos\alpha} = \dfrac{6\sqrt{3}}{5} \approx 2{,}1\) м.

Сравните объём всей системы, погружённой в воду, с объёмом вытесненной воды: уровень повысился на \(hS\). Масса содержимого сосуда до и после таяния льда одна и та же.

1) \(P_2 = 14\) Н;  2) \(m_1 \approx 0{,}34\) кг;  3) не изменится.

1) Сосуд цилиндрический, поэтому \(P_2 = P_1 + \rho g h S = 14\) Н.

2) Пусть \(v_\text{л}\) — объём льда, \(v_\text{ш}\) — объём шарика. Так как лёд с шариком полностью в воде, \[v_\text{л} + v_\text{ш} = hS \qquad (1)\] По закону Архимеда \[g\rho(v_\text{л} + v_\text{ш}) = g\rho_\text{л}v_\text{л} + g\rho_\text{ш}v_\text{ш} \qquad (2)\] Из (1), (2): \[v_\text{л} = \frac{\rho_\text{ш} - \rho}{\rho_\text{ш} - \rho_\text{л}}\,hS,\qquad m_1 = \rho_\text{л}v_\text{л} = \frac{\rho_\text{л}(\rho_\text{ш} - \rho)}{\rho_\text{ш} - \rho_\text{л}}\,hS = 0{,}34~\text{кг}.\]

3) После таяния льда показание весов не изменится, так как общая масса содержимого сосуда остаётся прежней.

Когда груз 2 опустится на \(H\), грузы 1 и 3 поднимутся на \(H\). Запишите закон сохранения энергии для системы, затем уравнение движения для груза 2.

1) \(V_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}4\) м/с;  2) \(T_2 = 2{,}4\) Н.

1) Когда груз 2 опустился на \(H\), грузы 1 и 3 поднялись на \(H\). Скорости всех грузов одинаковы и равны \(V_1\). ЗСЭ: \[3mgH = 2mgH + \frac{5mV_1^2}{2} \quad\Rightarrow\quad V_1 = \sqrt{\frac{2}{5}gH} = \sqrt{2} \approx 1{,}4~\text{м/с}.\]

2) Пусть \(a\) — ускорение грузов. Тогда \(V_1 = \sqrt{2aH}\), откуда \(a = \dfrac{g}{5}\). Для груза 2: \(3mg - T_2 = 3ma = 3m\dfrac{g}{5}\), откуда \[T_2 = \frac{12}{5}mg = 2{,}4~\text{Н}.\]

Запишите мощность в каждом подключении через напряжение \(U\) источника и эквивалентное сопротивление цепи. Отношение мощностей даёт уравнение на \(x = R_2/R_1\).

1) \(\dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \approx 0{,}37\);  2) \(P_3 \approx 93\) Вт.

1) Пусть \(x = R_2/R_1\). Для подключения к A и B и к B и C: \[P_1 = U^2\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1 + 2R_2}\right), \qquad 2P_1 = U^2\left(\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_2 + 2R_1}\right).\] Исключив \(U\), получаем уравнение \(2x^2 + 2x - 1 = 0\), откуда \(x = \dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \approx 0{,}37\).

2) Из первого уравнения \(P_1 = \dfrac{U^2\cdot 2(x+1)}{R_1(2x+1)}\). Для подключения к A и C: \(P_3 = \dfrac{U^2}{(R_1 + R_2)/2} = \dfrac{2U^2}{R_1(x+1)}\). Отсюда \[P_3 = \frac{P_1(2x+1)}{(x+1)^2} = \frac{4\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^2}\,P_1 \approx 0{,}93\,P_1 \approx 93~\text{Вт}.\]