зад 1 Сколько плыть через реку: снос и время
Пловец переплывает через реку шириной \(d = 100\) м за время \(\tau = 220\) с. За это время течение сносит его на \(S = 200\) м. Скорость течения реки \(V = 0{,}5\) м/с. Снос — это расстояние, на которое перемещается пловец вдоль реки к моменту достижения противоположного берега. В подвижной системе отсчёта, связанной с водой, пловец движется с постоянной скоростью.
Найдите скорость \(u\) пловца в подвижной системе отсчёта, связанной с водой.
За какое наименьшее время \(T\) пловец может пересечь реку?
▶ПодсказкаСкрыть
Разложите скорость пловца относительно воды на составляющую поперёк реки и составляющую вдоль неё. Поперечная составляющая определяется шириной реки и временем \(\tau\), продольная — снесением и скоростью течения.
▶ОтветСкрыть
1) \(u \approx 0{,}61\) м/с; 2) \(T \approx 164\) с.
▶РешениеСкрыть
1) Пусть \(u_\perp\) — составляющая скорости пловца относительно воды, перпендикулярная берегу, \(u_\parallel\) — параллельная берегу: \[u_\perp = \frac{d}{\tau}, \qquad (u_\parallel + V)\tau = S \;\Rightarrow\; u_\parallel = \frac{S}{\tau} - V .\] Отсюда \[u = \sqrt{u_\perp^2 + u_\parallel^2} = \sqrt{\left(\frac{S}{\tau} - V\right)^2 + \left(\frac{d}{\tau}\right)^2} \approx 0{,}61~\text{м/с}.\]
2) \(T = \dfrac{d}{u} \approx 164\) с.
зад 2 Мяч, брошенный перпендикулярно склону
На плоском склоне с уклоном \(\alpha = 30^\circ\) бросают мяч с начальной скоростью \(V_0 = 10\) м/с перпендикулярно склону. Точка старта находится на поверхности склона. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
Через какое время \(T\) мяч упадёт на склон первый раз?
На каком расстоянии \(S_1\) от точки старта мяч упадёт на склон первый раз?
На каком расстоянии \(S_2\) от точки старта мяч упадёт на склон во второй раз после упругого соударения с поверхностью склона?
▶ПодсказкаСкрыть
Ось \(x\) направьте вдоль склона вниз, ось \(y\) — перпендикулярно склону вверх; проекции ускорения на них постоянны. Между первым и вторым ударами проходит одно и то же время.
▶ОтветСкрыть
1) \(T = \dfrac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}3\) с; 2) \(S_1 = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3\) м; 3) \(S_2 = \dfrac{160}{3} \approx 53{,}3\) м.
▶РешениеСкрыть
1) Ось \(x\) вдоль склона вниз, ось \(y\) перпендикулярно склону вверх: \(a_x = g\sin\alpha\), \(a_y = -g\cos\alpha\). Тогда \[T = \frac{2V_0}{|a_y|} = \frac{2V_0}{g\cos\alpha} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}3~\text{с}.\]
2) \(S_1 = \dfrac{a_x T^2}{2} = \dfrac{2V_0^2\sin\alpha}{g\cos^2\alpha} = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3\) м.
3) Промежуток времени между первым и вторым ударом равен \(T\), поэтому \(S_2 = \dfrac{a_x(2T)^2}{2} = 4S_1 = \dfrac{160}{3} \approx 53{,}3\) м.
зад 3 Планеты: год на Нептуне и противостояния
Некоторые планеты (Венера, Земля, Нептун) движутся вокруг Солнца по орбитам «близким» к круговым. Радиус орбиты Нептуна в \(n = 30\) раз больше радиуса земной орбиты. Планеты движутся по орбитам в одной плоскости и в одном и том же направлении.
Вычислите продолжительность \(T_\text{Н}\) года на Нептуне. Продолжительность земного года \(T_\text{З} = 365\) суток.
Через какой наименьший промежуток времени \(\tau\) расстояние между Землёй и Нептуном достигает наибольшего значения?
▶ПодсказкаСкрыть
Для круговых орбит периоды связаны с радиусами третьим законом Кеплера. Наибольшее расстояние между планетами достигается, когда они лежат на одной прямой с Солнцем по разные стороны от него; рассмотрите, за какое время Земля обгонит Нептун на один оборот относительно него.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_\text{Н} \approx 59976\) сут \(\approx 164\) года; 2) \(\tau \approx 367\) сут.
▶РешениеСкрыть
1) Пусть \(M_\text{с}\) — масса Солнца, \(m\) — масса планеты. Тогда \(m\omega^2 r = \gamma\dfrac{M_\text{с} m}{r^2}\), \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\), и \(\dfrac{r^3}{T^2} = \text{const}\). Значит, \[T_\text{Н} = T_\text{З}\sqrt{\left(\frac{r_\text{Н}}{r_\text{З}}\right)^3} = 365\cdot\sqrt{30^3} \approx 59976~\text{сут} \approx 164~\text{года}.\]
2) \(\left(\dfrac{2\pi}{T_\text{З}} - \dfrac{2\pi}{T_\text{Н}}\right)\tau = 2\pi\), откуда \[\tau = \frac{T_\text{Н}T_\text{З}}{T_\text{Н} - T_\text{З}} \approx 367~\text{сут}.\]
зад 4 Лыжник на склоне с двумя коэффициентами трения
На заснеженном склоне с углом наклона \(\alpha\) к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших \(h\) равен \(\mu_1\) (\(\mu_1 > \operatorname{tg}\alpha\)), на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен \(\mu_2\) (\(\mu_2 < \operatorname{tg}\alpha\)). Ускорение свободного падения \(g\).
С какой высоты \(H\) следует стартовать лыжнику с нулевой начальной скоростью, чтобы доехать до основания склона с нулевой конечной скоростью?
Найдите максимальную скорость \(V_\text{MAX}\) лыжника.
Найдите продолжительность \(T\) движения на участке торможения.
▶ПодсказкаСкрыть
На каждом участке движение равноускоренное: на верхнем участке лыжник разгоняется, на нижнем тормозит. Максимальная скорость достигается на границе участков с высотой \(h\).
▶ОтветСкрыть
1) \(H = \dfrac{(\mu_1 - \mu_2)\cos\alpha}{\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha}\,h\); 2) \(V_\text{MAX} = \sqrt{\dfrac{2gh(\mu_1\cos\alpha - \sin\alpha)}{\sin\alpha}}\); 3) \(T = \sqrt{\dfrac{2h}{g\sin\alpha\,(\mu_1\cos\alpha - \sin\alpha)}}\).
▶РешениеСкрыть
1) Ось \(x\) направлена вдоль склона вниз. Сила трения \(F_\text{тр} = \mu mg\cos\alpha\). На верхнем участке \(a_{2x} = g(\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha) > 0\), на нижнем \(a_{1x} = g(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha) < 0\). Тогда \[\frac{H - h}{\sin\alpha} = \frac{V_\text{max}^2}{2g(\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha)}, \qquad \frac{h}{\sin\alpha} = \frac{V_\text{max}^2}{2g(\mu_1\cos\alpha - \sin\alpha)} .\] Исключая \(V_\text{max}\), получаем \(H = \dfrac{(\mu_1 - \mu_2)\cos\alpha}{\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha}\,h\).
2) \(V_\text{max} = \sqrt{\dfrac{2gh(\mu_1\cos\alpha - \sin\alpha)}{\sin\alpha}}\).
3) \(T = \dfrac{V_\text{max}}{|a_{1x}|} = \sqrt{\dfrac{2h}{g\sin\alpha\,(\mu_1\cos\alpha - \sin\alpha)}}\).
зад 5 Мощности на резисторах и сборка из них цепи
На сопротивлениях \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) при подаче на каждое из них одного и того же напряжения выделяются мощности \(P\), \(P/2\), \(P/3\) соответственно.
Какая мощность \(P_1\) будет выделяться при подаче того же напряжения на параллельно соединённые сопротивления \(R_1\) и \(R_2\)?
Какая мощность \(P_2\) будет выделяться при подаче того же напряжения на цепь, в которой эти сопротивления соединены по схеме, приведённой на рисунке?
▶ПодсказкаСкрыть
Из условия найдите \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) через \(U\) и \(P\). Затем для каждого соединения найдите эквивалентное сопротивление и мощность \(U^2/R_\text{экв}\).
▶ОтветСкрыть
1) \(P_1 = \dfrac{3}{2}P\); 2) \(P_2 = \dfrac{3}{11}P\).
▶РешениеСкрыть
По условию \(R_1 = \dfrac{U^2}{P}\), \(R_2 = \dfrac{2U^2}{P}\), \(R_3 = \dfrac{3U^2}{P}\).
1) \(P_1 = \dfrac{U^2}{R_1R_2/(R_1 + R_2)} = \dfrac{3}{2}P\).
2) Цепь: \(R_1\) и \(R_2\) параллельно, затем последовательно с \(R_3\). \(P_2 = \dfrac{U^2}{\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_3} = \dfrac{3}{11}P\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2018/19, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.