Физтех, 2020/21, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Какое ускорение имеет модель в высшей точке траектории, если она движется по той же кривой, что и камень? Вспомните, как связаны радиус кривизны траектории и нормальное ускорение.

Ответ

1) \(V_0 \approx 14\) м/с;  2) \(F = 7{,}5\) Н, направлена вертикально вверх.

Решение

1) \(V_0 = \sqrt{\dfrac{gS}{\sin 2\alpha}} \approx 14\) м/с.

2) В высшей точке траектории \(a_n = g = \dfrac{(V_0\cos\alpha)^2}{R}\). Ускорение модели в этой точке сонаправлено с ускорением свободного падения и равно по величине \(\tilde a_n = \dfrac{V_0^2}{16R} = g\,\dfrac{1}{(4\cos\alpha)^2} = 0{,}25\,g\), следовательно, \(\vec F \uparrow\downarrow m\vec g\). По второму закону Ньютона \(m\tilde a_n = mg - F\), отсюда \(F = m(g - \tilde a_n) = 1{,}0\cdot(10{,}0 - 2{,}5) = 7{,}5\) Н.

Подсказка

На участке торможения сила трения направлена вверх по наклонной плоскости. Сравните, при каком коэффициенте трения коробка может съезжать с ускорением, а при каком тормозит.

Ответ

1) \(T = 2\) с;  2) \(H = 3\) м.

Решение

1) В процессе торможения величина ускорения \(a = g(\mu_1\cos\alpha - \sin\alpha) \approx 2\) м/с\(^2\). Далее \(\dfrac{h}{\sin\alpha} = 0{,}5\,aT^2\), \(T = \sqrt{\dfrac{2h}{\sin\alpha\cdot g\cdot(\mu_1\cos\alpha - \sin\alpha)}} = 2\) с.

2) Из равенства \[V_{\max}^2 = 2g(\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha)\frac{H - h}{\sin\alpha} = 2g(\mu_1\cos\alpha - \sin\alpha)\frac{h}{\sin\alpha}\] находим \(H = \dfrac{\mu_1 - \mu_2}{\mathrm{tg}\,\alpha - \mu_2}\,h = 3\) м.

Подсказка

Во втором случае на шар действует сила Архимеда, и центр шара движется по окружности. Запишите уравнения для вертикальной и радиальной проекций второго закона Ньютона.

Ответ

1) \(N \approx 2{,}1\) Н;  2) \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) рад (\(60^\circ\)).

Решение

1) \(N = mg\dfrac{R}{\sqrt{l(l + 2R)}} \approx 2{,}1\) Н.

2) В задаче рассматривается конический маятник во вращающейся жидкости. В этом случае наряду с силами \(\vec T\) — натяжения и \(m\vec g\) — тяжести на шарик действует \(\vec F_A\) — сила Архимеда. Центр масс шарика движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса \((l + R)\sin\alpha\) с круговой частотой \(\omega\).

По второму закону Ньютона \(m\vec a = \vec T + m\vec g + \vec F_A\). Переход к проекциям сил и ускорения на вертикальную ось и на радиальное направление приводит к двум соотношениям: \[mg = \rho_B Vg + T\cos\alpha, \qquad m\omega^2(l + R)\sin\alpha = \rho_B V\omega^2(l + R)\sin\alpha + T\sin\alpha,\] исключив \(T\) из которых, находим \[\cos\alpha = \frac{g}{\omega^2(l + R)} = \frac{10}{10^2\cdot 0{,}2} = 0{,}5, \qquad \alpha = \frac{\pi}{3}~\text{рад}.\]

Подсказка

Поршень движется при постоянном давлении, поэтому теплота идёт и на нагрев, и на работу расширения. Сравните эту работу с теплотой, нужной на испарение всей воды.

Ответ

1) \(Q_1 \approx 2300\) Дж;  2) \(H \approx 0{,}4\) м.

Решение

1) \(Q_1 = mc(t - t_0) \approx 2300\) Дж, где \(t = 100\,^\circ\)C.

2) \(q_{исп} = m\cdot r = 12430\) Дж. Плотность насыщенного водяного пара при \(t = 100\,^\circ\)C \(\rho = \dfrac{\mu P}{RT} = 0{,}58\) кг/м\(^3\). Пар занимает объём \(V = \dfrac{m}{\rho} \approx 9{,}5\cdot 10^{-3}\) м\(^3\), поршень в процессе испарения поднялся на \(\Delta h_1 = \dfrac{V}{S} \approx 0{,}19\) м. Далее в изобарном процессе \[q_2 = mc_P\Delta T = Q_2 - r\cdot m = 17430 - 12430 = 5000~\text{Дж}.\] С учётом уравнений состояния получаем \(PS\Delta h_2 = \dfrac{m}{\mu}R\Delta T = \dfrac{R}{\mu c_P}q_2\). Отсюда \(\Delta h_2 = \dfrac{R}{PS\mu c_P}q_2 \approx 0{,}21\) м. Поршень переместится на \(H = \Delta h_1 + \Delta h_2 = 0{,}4\) м.

Подсказка

Перемычка соединяет две точки кольца, и в цепи образуется мостовая схема из четырёх дуг. Выразите сопротивления дуг через угол поворота перемычки.

Ответ

1) \(P = 10{,}8\) Вт;  2) \(n = 3\);  3) \(P_2 = 8\) Вт.

Решение

1) Электрическая схема цепи представлена на следующем рисунке.

При \(r = \dfrac{R}{12}\) эквивалентное сопротивление цепи \(\dfrac{5}{36}R\). В этом случае на кольце рассеивается мощность \(P = \dfrac{36}{5}\dfrac{U^2}{R} = 10{,}8\) Вт.

2) Для ответа на второй вопрос задачи вычислим ток через перемычку при произвольном положении перемычки \[I = \frac{U}{2}\left(\frac{1}{\tilde r} - \frac{1}{0{,}5R - \tilde r}\right).\] Подстановка численных значений: \(I = \dfrac{2}{3}\) А, \(U = 6\) В, \(R = 24\) Ом, приводит к квадратному уравнению \(\tilde r^2 - 21\tilde r + 54 = 0\), решение которого \(\tilde r = \dfrac{R}{8} = 3\) Ом. Отсюда \(n = \dfrac{0{,}5R - \tilde r}{\tilde r} = \dfrac{12 - 3}{3} = 3\).

3) В этом случае эквивалентное сопротивление цепи \[2\cdot\frac{(0{,}5R - \tilde r)\tilde r}{0{,}5R} = \frac{3}{16}R.\] Мощность, рассеиваемая в цепи, равна \(P_2 = \dfrac{16}{3}\dfrac{U^2}{R} = 8\) Вт.