Физтех, 2020/21, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Ускорение шара — сумма ускорения клина и ускорения шара относительно клина. Запишите второй закон Ньютона для шара в проекции на ось, перпендикулярную нити.

Ответ

1) \(\beta = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\), \(\mathrm{tg}\,\beta = 2\);  2) \(a = \dfrac{3}{4}g\);  3) \(\dfrac{M}{m} = \dfrac{15}{4}\);  4) \(t = \sqrt{\dfrac{10H}{3g}}\).

Решение

Пусть \(M\) — масса шара, \(m\) — масса клина, \(a\) — ускорение клина, \(T\) — сила натяжения нити.

1) Ускорение шара относительно клина тоже \(a\). Ускорение шара \(a_{ш}\) равно сумме переносного и относительного ускорений (см. рис.). \(\beta = 90^\circ - \alpha/2\), \(\sin\beta = \cos\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}} = \dfrac{2\sqrt5}{5}\) (\(\cos\beta = \dfrac{\sqrt5}{5}\), \(\mathrm{tg}\,\beta = 2\)).

2) Уравнение движения для шара в проекциях на ось, перпендикулярную нити, \(Ma\sin\alpha = Mg\cos\alpha\). Отсюда \[a = \frac{g}{\mathrm{tg}\,\alpha} = \frac{g\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3}{4}g.\]

3) Уравнения движения в проекциях на горизонтальную ось для шара и клина \(M(a - a\cos\alpha) = T\cos\alpha\), \(ma = T - T\cos\alpha\). Отсюда \[\frac{M}{m} = \frac{\cos\alpha}{(1 - \cos\alpha)^2} = \frac{15}{4}.\]

4) Относительно стола \(H = \dfrac{1}{2}(a\sin\alpha)t^2\). Так как \(a = \dfrac{g}{\mathrm{tg}\,\alpha}\), то \[t = \sqrt{\frac{2H}{g\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{10H}{3g}}.\]

Замечание. Время можно найти, рассмотрев движение шара относительно клина.

Подсказка

Площадь под графиком зависимости теплоёмкости от температуры равна полученной газом теплоте. Работа газа находится как разность теплоты и изменения внутренней энергии.

Ответ

1) \(Q_1 = \dfrac{11}{36}\nu RT_0\);  2) \(T = \dfrac{3}{4}T_0\);  3) \(A_{\min} = -\dfrac{1}{16}\nu RT_0\).

Решение

Площадь под графиком зависимости теплоёмкости от температуры есть теплота, полученная газом. Зависимость линейная. При изменении температуры от \(T_0\) до \(T\) теплота \[Q = \nu\cdot\frac{1}{2}\bigl(C(T) + C(T_0)\bigr)(T - T_0).\]

1) \(-Q_1 = \nu\cdot\dfrac{1}{2}\left(C\left(\dfrac{5}{6}T_0\right) + C(T_0)\right)\left(\dfrac{5}{6}T_0 - T_0\right) = -\dfrac{11}{36}\nu RT_0\). Отсюда \(Q_1 = \dfrac{11}{36}\nu RT_0\).

2) \(Q(T) = \nu\cdot\dfrac{1}{2}\bigl(C(T) + C(T_0)\bigr)(T - T_0) = \nu R\left(1 + \dfrac{T}{T_0}\right)(T - T_0)\). Изменение внутренней энергии \(\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R(T - T_0)\), работа газа \(A = Q - \Delta U\). Отсюда \[A = \frac{\nu R}{2T_0}(T - T_0)(2T - T_0).\] Имеем параболическую зависимость. Минимальная работа \(A_M\) при \[T_M = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}T_0 + T_0\right) = \frac{3}{4}T_0.\]

3) \(A_M = A(T_M) = -\dfrac{1}{16}\nu RT_0 < 0\).

Подсказка

Сразу после замыкания заряды конденсаторов ещё не успели измениться. Найдите напряжение на \(C_2\) в начальный момент.

Ответ

1) \(I_{0R} = \dfrac{2E}{3R}\);  2) \(Q = \dfrac{2}{3}CE^2\);  3) \(I = \dfrac{3}{2}I_0\).

Решение

1) До замыкания напряжение на \(C_2\) равно \(U_{02} = \dfrac{EC_1}{C_1 + C_2} = \dfrac{2}{3}E\). Ток \(I_{0R} = \dfrac{U_{02}}{R} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{E}{R}\).

2) Работа источника \(A = Q + \Delta W_C\). \(A = E\left(C_1E - \dfrac{C_1C_2}{C_1 + C_2}E\right) = \dfrac{C_1^2}{C_1 + C_2}E^2\). Изменение энергии конденсаторов \[\Delta W_C = \frac{1}{2}C_1E^2 - \frac{1}{2}\frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}E^2 = \frac{1}{2}\frac{C_1^2}{C_1 + C_2}E^2.\] Отсюда \(Q = \dfrac{1}{2}\dfrac{C_1^2}{C_1 + C_2}E^2 = \dfrac{2}{3}CE^2\).

3) Пусть в некоторый момент после замыкания заряд левой обкладки у \(C_1\) равен \(q_1\), а заряд нижней обкладки у \(C_2\) равен \(q_2\). Тогда \(E - \dfrac{q_1}{C_1} + \dfrac{q_2}{C_2} = 0\). За малое время \(\Delta t\) будет \[\frac{I_1}{C_1} = \frac{I_2}{C_2}.\] У нас \(\dfrac{I_1}{2} = I_2\), \(I_1 = I_0\), \(I_2 = \dfrac{1}{2}I_0\). Ток в резисторе \(I = I_1 + I_2 = \dfrac{3}{2}I_0\).

Подсказка

Суммарная сила, действующая на систему перемычек, равна нулю: используйте закон сохранения импульса. Ток в контуре один и тот же для обеих перемычек.

Ответ

1) \(a_{02} = \dfrac{1}{6}\dfrac{B^2V_0L^2}{mR}\);  2) \(V = \dfrac{V_0}{3}\) (обе перемычки);  3) \(S = S_0 - \dfrac{2V_0Rm}{B^2L^2}\).

Решение

1) Начальный ток \(I_0 = \dfrac{BV_0L}{R_1 + R_2}\). Ускорение второй перемычки \[a_{02} = \frac{BI_0L}{m_2} = \frac{B^2V_0L^2}{m_2(R_1 + R_2)} = \frac{1}{6}\,\frac{B^2V_0L^2}{mR}.\]

2) Суммарная сила на перемычки равна нулю. Поэтому \(m_1V_0 = (m_1 + m_2)V\), \(V = \dfrac{V_0}{3}\).

3) Пусть в произвольный момент \(V_1\) и \(V_2\) — скорости перемычек, \(S_1\) и \(S_2\) — их пути, \(I\) — ток. Тогда \[m_2\frac{\Delta V_2}{\Delta t} = BIL = BL\frac{BV_1L - BV_2L}{R_1 + R_2}.\] Отсюда \(m_2\Delta V_2 = BL\dfrac{BV_1\Delta tL - BV_2\Delta tL}{R_1 + R_2} = \dfrac{B^2L^2}{R_1 + R_2}(\Delta S_1 - \Delta S_2)\). Суммируем: \[m_2(V - 0) = \frac{B^2L^2}{R_1 + R_2}(S_1 - S_2).\] Надо найти \(S = S_0 - (S_1 - S_2)\). С учётом \(V = V_0/3\) находим \[S = S_0 - \frac{2V_0Rm}{B^2L^2}.\]

Подсказка

Вспомните формулу тонкой линзы для изображения картины. Какие лучи от точки картины проходят через линзу и попадают в глаз?

Ответ

1) \(x = 36\) см;  2) \(D_M = 4{,}5\) см;  3) экран на главной оптической оси слева от линзы на расстоянии \(z = 12\) см.

Решение

На рисунке \(A_1B_1\) — изображение, рассматриваемое глазом \(\Gamma\). У нас \(F = 9\) см, \(d = 36\) см, \(d_0 = 24\) см.

1) \(f = \dfrac{dF}{d - F} = 12\) см. \(x = f + d_0 = 36\) см.

2) На рисунке показан ход лучей через линзу от точки \(B\) при минимальном диаметре линзы \(D_M\). Пусть \(A_1B_1 = h\). \(h = \dfrac{f}{d}H = 3\) см. \(\dfrac{D_M}{h} = \dfrac{x}{d_0}\), \(D_M = \dfrac{hx}{d_0} = 4{,}5\) см.

3) Все лучи, попавшие в зрачок глаза после прохождения линзы, должны выйти из точки, сопряжённой зрачку в линзе. \(\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{F}\). Экран надо поместить на главной оптической оси линзы слева от линзы на расстоянии \[z = \frac{xF}{x - F} = 12~\text{см}.\]