Физтех, 2020/21, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Угол нити с вертикалью не меняется, поэтому ускорение шарика относительно стола связано с ускорением клина. Запишите второй закон Ньютона для шарика в проекции на направление, перпендикулярное нити в системе клина.

Ответ

1) \(a = \dfrac{3}{4}\,g\);  2) \(a_0 = \dfrac{3}{8}\,g\);  3) \(t = \sqrt{\dfrac{20H}{3g}}\).

Решение

Заметим, что \(\sin\alpha = \dfrac{5}{13}\), \(\sin\beta = \dfrac{3}{5}\). Пусть \(a\) — ускорение клина, \(a_0\) — ускорение бруска и шарика относительно клина, \(T\) — сила натяжения нити, \(N\) — сила давления клина на брусок, \(m_1 = 13m\), \(m_2 = m\).

1) Ускорение шарика равно сумме переносного \(a\) и относительного \(a_0\) ускорений. Аналогично для бруска. Уравнение движения для шарика в проекциях на ось \(y_2\): \(mg\sin\beta = ma\cos\beta\). Отсюда \[a = g\,\mathrm{tg}\,\beta = \frac{3}{4}\,g .\]

2) Уравнения движения для бруска в проекциях на ось \(x_1\) и для шарика в проекциях на ось \(x_2\): \(13mg\sin\alpha - T = 13m(-a_0 + a\cos\alpha)\), \(mg\cos\beta - T = m(a_0 - a\sin\beta)\). Отсюда с учётом выражения для \(a\) находим \[a_0 = \frac{g\left[1 + 13(\sin\beta\cos\alpha - \cos\beta\sin\alpha)\right]}{14\cos\beta} = \frac{3}{8}\,g .\]

3) Для шарика относительно стола в проекции на вертикальную ось \(H = \frac{1}{2}(a_0\cos\beta + 0)\,t^2\). Отсюда \[t = \sqrt{\frac{2H}{a_0\cos\beta}} = \sqrt{\frac{20H}{3g}} .\] Время можно найти и в системе отсчёта, связанной с клином.

Подсказка

Выразите температуру в точке дуги через угол её радиуса с горизонталью, а для теплоёмкости запишите \(\Delta Q = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T + p\,\Delta V\) и найдите, когда \(\Delta Q = 0\).

Ответ

1) \(\dfrac{T_1}{T_2} = \sqrt{3}\);  2) \(\mathrm{tg}\,\alpha = \sqrt{\dfrac{3}{5}}\);  3) \(\dfrac{A}{A_{12}} = \dfrac{4-4\sqrt{3}+\pi}{1-\sqrt{3}+\pi} \approx 0{,}09\).

Решение

1) Пусть радиус, проведённый в произвольную точку процесса 1-2, составляет угол \(\alpha\) с горизонтальной осью. Найдём связь температуры в этой точке с углом \(\alpha\). Обозначим через \(r\) радиус дуги окружности. Тогда \(PV = \nu RT\), \(\dfrac{P}{P_0} = r\sin\alpha\), \(\dfrac{V}{V_0} = r\cos\alpha\). Отсюда \[T = \frac{P_0V_0r^2\sin2\alpha}{2\nu R}.\] У нас \(\alpha_1 = 60^\circ\), \(\alpha_2 = 15^\circ\): \(\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{\sin2\alpha_1}{\sin2\alpha_2} = \sqrt{3}\).

2) Для элементарного процесса в процессе 1-2 \(\Delta Q = \nu\frac{3}{2}R\,\Delta T + P\,\Delta V\). Теплоёмкость равна нулю при \(\Delta Q = 0\). Имеем \(P\Delta V = P_0 r\sin\alpha\cdot\Delta V\), где \(\Delta V = -V_0r\sin\alpha\,\Delta\alpha\). Выразим \(\Delta\alpha\) через \(\Delta T\): так как \(T = \dfrac{P_0V_0r^2\sin2\alpha}{2\nu R}\), то \(\Delta T = \dfrac{P_0V_0r^2}{2\nu R}\cos2\alpha\cdot2\Delta\alpha\). Тогда \[P\Delta V = -\nu R\,\frac{\sin^2\alpha}{\cos2\alpha}\,\Delta T, \qquad \Delta Q = \nu R\,\frac{3\cos^2\alpha - 5\sin^2\alpha}{2(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}\,\Delta T .\] \(\Delta Q = 0\) при \(3\cos^2\alpha - 5\sin^2\alpha = 0\). Отсюда \(\mathrm{tg}\,\alpha = \sqrt{\dfrac{3}{5}}\).

3) Работа в процессе расширения 1-2: \(A_{12} = \sum P\Delta V = P_0V_0S_{12}\), где \(S_{12}\) — «площадь» под дугой 1-2: \[S_{12} = \frac{1}{4}r^2\left[2(\alpha_1-\alpha_2) + \sin2\alpha_2 - \sin2\alpha_1\right], \qquad A_{12} = \frac{1}{8}P_0V_0r^2\left[\pi + 1 - \sqrt{3}\right].\] Изменение внутренней энергии \(U_2 - U_1 = \nu C_V(T_2 - T_1) = \frac{3}{8}P_0V_0r^2\left(1 - \sqrt{3}\right)\). Теплота подводится только на участке 1-2, поэтому \[\frac{A}{A_{12}} = \frac{Q_{12}}{A_{12}} = \frac{U_2 - U_1 + A_{12}}{A_{12}} = 1 + \frac{U_2 - U_1}{A_{12}} = \frac{4 - 4\sqrt{3} + \pi}{1 - \sqrt{3} + \pi} \approx 0{,}09 .\]

Подсказка

Сразу после замыкания ток через катушку ещё равен нулю: найдите напряжение, приложенное к катушке в этот момент. Для пункта 3 используйте, что токи через конденсаторы относятся как их ёмкости.

Ответ

1) \(I'_L = \dfrac{E}{3L}\);  2) \(Q = \dfrac{CE^2}{6}\);  3) \(I = 3I_0\).

Решение

1) До замыкания напряжение на \(C_2\) равно \(U_{02} = \dfrac{EC_1}{C_1 + C_2} = \dfrac{1}{3}E\). Тогда \(I'_L = \dfrac{U_{02}}{L} = \dfrac{E}{3L}\).

2) После замыкания в установившемся режиме ток через катушку не идёт, \(C_2\) не заряжен. Работа источника \(A = Q + \Delta W_C\): \[A = E\left(C_1E - \frac{C_1C_2}{C_1+C_2}E\right) = \frac{C_1^2}{C_1+C_2}E^2 .\] Изменение энергии конденсаторов \(\Delta W_C = \frac{1}{2}C_1E^2 - \frac{1}{2}\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}E^2 = \frac{1}{2}\dfrac{C_1^2}{C_1+C_2}E^2\). Отсюда \[Q = \frac{1}{2}\frac{C_1^2}{C_1+C_2}E^2 = \frac{1}{6}CE^2 .\]

3) Пусть в некоторый момент после замыкания заряд левой обкладки у \(C_1\) равен \(q_1\), а заряд левой обкладки у \(C_2\) равен \(q_2\). Тогда \(E - \dfrac{q_1}{C_1} + \dfrac{q_2}{C_2} = 0\). Дифференцируя по времени, получаем \(\dfrac{I_1}{C_1} = \dfrac{I_2}{C_2}\). При \(I_1 = I_0\) имеем \(I_2 = 2I_0\). Ток в катушке \(I = I_1 + I_2 = 3I_0\).

Подсказка

Сила Ампера на сторону рамки в поле пропорциональна её скорости. Запишите закон изменения импульса за малый промежуток времени и просуммируйте его по пути.

Ответ

1) \(a_0 = \dfrac{B^2V_0d^2}{mR}\);  2) \(V_1 = V_0 - \dfrac{B^2d^3}{3mR}\);  3) \(V_2 = V_0 - \dfrac{2B^2d^3}{3mR}\).

Решение

1) ЭДС в рамке \(\mathcal{E} = BV_0d\), ток \(I_0 = \dfrac{BV_0d}{R}\), сила \(F_0 = BI_0d = \dfrac{B^2V_0d^2}{R}\), ускорение \[a_0 = \frac{F_0}{m} = \frac{B^2V_0d^2}{mR}.\]

2) В некоторый момент при движении правой стороны в поле \(m\dfrac{\Delta V}{\Delta t} = -BId = -\dfrac{B^2d^2}{R}V\). Отсюда \(m\,\Delta V = -\dfrac{B^2d^2}{R}\,\Delta S\), где \(\Delta S\) — путь за \(\Delta t\). Суммируя за время нахождения правой стороны в поле, \(m(V_1 - V_0) = -\dfrac{B^2d^2}{R}H\). Окончательно \[V_1 = V_0 - \frac{B^2d^3}{3mR}.\]

3) Когда левая и правая стороны рамки вне поля, скорость постоянна. После вхождения левой стороны в поле идёт торможение, аналогичное торможению правой стороны: \(m(V_2 - V_1) = -\dfrac{B^2d^2}{R}H\). В итоге \[V_2 = V_0 - \frac{2B^2d^3}{3mR}.\]

Подсказка

Без очков дальняя точка глаза находится на расстоянии \(x\). Очки для рассматривания удалённых предметов должны переносить бесконечно удалённую точку в эту дальнюю точку, а очки для чтения — перенести предмет с 25 см на расстояние \(x\).

Ответ

1) \(x = 12{,}5\) см, \(D_1 = -8\) дптр;  2) \(D_3 = -6\) дптр.

Решение

1) Обозначим \(d_0 = 25\) см. Формула тонкой линзы даёт \(\dfrac{1}{\infty} + \dfrac{1}{-x} = D_1\), \(\dfrac{1}{d_0} + \dfrac{1}{-x} = D_2\), \(\dfrac{D_1}{D_2} = 2\). Отсюда \(x = \dfrac{1}{8}\) м \(= 12{,}5\) см, для рассматривания удалённых предметов \(D_1 = -8\) дптр.

2) Обозначим \(d_K = 50\) см \(= 0{,}5\) м. Для работы на компьютере \(\dfrac{1}{d_K} + \dfrac{1}{-x} = D_3\), откуда \(D_3 = 2 - 8 = -6\) дптр.