зад 1 Лёд в воде и добавленная вода
В сосуде с водой плавает кусок льда массой \(M = 0{,}45\) кг. Система находится в тепловом равновесии. Плотность воды \(\rho_0 = 1{,}0\cdot10^3\) кг/м\(^3\), плотность льда \(\rho = 0{,}9\cdot10^3\) кг/м\(^3\).
Найдите объём \(V\) надводной части льда.
В сосуд наливают воду при температуре \(t_1 = 30\,^\circ\)C. После установления теплового равновесия объём надводной части льда уменьшился на \(V_1 = 25\) см\(^3\).
Найдите массу \(m\) добавленной воды.
Удельная теплота плавления льда \(\lambda = 3{,}36\cdot10^5\) Дж/кг, удельная теплоёмкость воды \(c = 4{,}2\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C). Потери теплоты считайте пренебрежимо малыми.
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько льда должно растаять, чтобы объём надводной части уменьшился на указанную величину? Затем запишите уравнение теплового баланса для добавленной воды.
▶ОтветСкрыть
1) \(V = 50\) см\(^3\); 2) \(m = 0{,}6\) кг.
▶РешениеСкрыть
1) Объём надводной части \(V = \dfrac{M}{\rho}\left(1 - \dfrac{\rho}{\rho_0}\right) = 0{,}5\cdot10^{-4}\) м\(^3\), то есть \(V = 50\) см\(^3\).
2) Объём надводной части уменьшился в два раза, следовательно половина льда растаяла. Тогда \[m = \frac{0{,}5\,M\lambda}{c\,(t_1 - t_0)} = 0{,}6~\text{кг},\] здесь \(t_0 = 0\,^\circ\)C.
зад 2 Коробка на тормозящей платформе
На железнодорожной платформе, движущейся по горизонтальному рельсовому пути с постоянной по величине и направлению скоростью \(V_0 = 10\) м/с, стоит коробка. Внезапно начинается торможение, платформа движется по прямой до полной остановки с постоянным по величине ускорением \(a = 2\) м/с\(^2\). Коробка, в свою очередь, перемещается относительно платформы на \(S = 12\) м и останавливается. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Коробка движется по горизонтальной прямой.
Найдите тормозной путь \(L\) платформы.
Найдите коэффициент \(\mu\) трения скольжения коробки.
В течение какого времени \(T\) скорость коробки в системе отсчёта, связанной с платформой, увеличивалась?
Найдите наибольшую скорость \(U_{MAX}\) коробки относительно платформы.
▶ПодсказкаСкрыть
Относительно платформы коробка движется с ускорением, которое возникает из-за силы трения. Сравните путь коробки относительно платформы с тормозным путём платформы.
▶ОтветСкрыть
1) \(L = 25\) м; 2) \(\mu \approx 0{,}135\); 3) \(T = 5\) с; 4) \(U_{MAX} \approx 3{,}2\) м/с.
▶РешениеСкрыть
1) Тормозной путь платформы \(L = \dfrac{V_0^2}{2a} = 25\) м.
2) Из аналогичного соотношения для коробки \(\mu = \dfrac{V_0^2}{2(L+S)g} \approx 0{,}135\).
3) \(T = \dfrac{V_0}{a} = 5\) с.
4) \(U_{MAX} = V_0\left(1 - \dfrac{\mu g}{a}\right) \approx 3{,}2\) м/с.
зад 3 Мешочек с песком и гладкая наклонная плоскость
С гладкой наклонной плоскости бросают тряпичный мешочек, наполненный песком. Вектор начальной скорости \(V_0 = 12\) м/с образует с горизонтальной плоскостью угол \(\alpha\), \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{8}{3}\). Мешочек перед столкновением с плоскостью движется горизонтально, после столкновения безотрывно скользит по плоскости. Движение мешочка по плоскости прямолинейное.
На какой высоте \(H\), отсчитанной от точки старта, мешочек сталкивается с плоскостью?
Найдите \(\mathrm{tg}\,\beta\), здесь \(\beta\) — угол, который наклонная плоскость образует с горизонтом.
Через какое время \(T\) после падения на плоскость мешочек остановится?
Если наклонная плоскость шероховатая, то при каких значениях коэффициента трения скольжения мешочек не будет перемещаться по плоскости?
Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Действием силы тяжести в процессе столкновения пренебрегите.
▶ПодсказкаСкрыть
Горизонтальная составляющая скорости сохраняется при полёте. Для остановки на плоскости сравните тангенс угла наклона плоскости с коэффициентом трения.
▶ОтветСкрыть
1) \(H \approx 6{,}3\) м; 2) \(\mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{4}{3}\); 3) \(T \approx 0{,}3\) с; 4) \(\mu \ge \dfrac{4}{3}\).
▶РешениеСкрыть
1) \(H = \dfrac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g} = \dfrac{V_0^2}{2g}\cdot\dfrac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1 + \mathrm{tg}^2\alpha} \approx 6{,}3\) м.
2) Наклонная плоскость образует с горизонтом угол \(\beta\) такой, что \(\mathrm{tg}\,\beta = 0{,}5\cdot\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{4}{3}\).
3) \(T = \dfrac{V_0\cos\alpha\cos\beta}{g\sin\beta} = \dfrac{V_0}{g}\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\mathrm{tg}\,\beta} \approx 0{,}3\) с.
4) Мешочек остановится при \(\mu \ge \dfrac{1}{\mathrm{tg}\,\beta} = 0{,}75\), будет в покое при \(\mu \ge \mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{4}{3}\).
зад 4 Спутник и наблюдатель на экваторе
Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора в том же направлении, что и точки на экваторе. Радиус орбиты спутника в два раза больше радиуса Земли \(R = 6400\) км. Ускорение свободного падения у поверхности планеты \(g = 10\) м/с\(^2\).
Найдите период \(T\) обращения спутника.
В некоторый момент времени расстояние от наблюдателя на экваторе до спутника наименьшее.
Через какое время \(T_1\) расстояние между наблюдателем и спутником впервые будет расти с наибольшей скоростью?
Найдите эту скорость \(V\).
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта, где спутник покоится, и учтите, что сутки на Земле отличаются от периода обращения спутника. Скорость изменения расстояния максимальна, когда скорость наблюдателя направлена вдоль прямой «наблюдатель–спутник».
▶ОтветСкрыть
1) \(T = 2\sqrt{2}\cdot2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}} \approx 1{,}4\cdot10^4\) с; 2) \(T_1 = \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{T_E T}{T_E - T} \approx 2{,}8\cdot10^3\) с; 3) \(V = 2\pi\left(\dfrac{1}{T} - \dfrac{1}{T_E}\right)R \approx 2{,}4\cdot10^3\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Продолжительность суток \(T_E = 8{,}64\cdot10^4\) с.
1) \(T = 2\sqrt{2}\cdot2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}} \approx 1{,}4\cdot10^4\) с.
2) В системе, где спутник покоится, точки на экваторе движутся по окружности с угловой скоростью \(\omega = 2\pi\left(\dfrac{1}{T} - \dfrac{1}{T_E}\right)\). Максимальная скорость роста расстояния достигается в тот момент, когда скорость наблюдателя направлена по прямой, на которой находятся спутник и наблюдатель. \[T_1 = \frac{1}{6}\cdot\frac{T_E\,T}{T_E - T} \approx 2{,}8\cdot10^3~\text{с}.\]
3) \(V = 2\pi\left(\dfrac{1}{T} - \dfrac{1}{T_E}\right)R \approx 2{,}4\cdot10^3\) м/с.
зад 5 Резисторы и максимальная мощность на подключённом
Два одинаковых резистора соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения \(U = 6\) В. В такой цепи рассеивается мощность \(P = 1\) Вт.
Найдите сопротивление \(R\) каждого резистора.
К одному из резисторов подключают параллельно (см. рис.) резистор с таким сопротивлением \(R_1\), что на подключённом резисторе рассеивается максимальная мощность.
Найдите сопротивление \(R_1\).
Найдите максимальную мощность \(P_{MAX}\), рассеивающуюся на резисторе \(R_1\).
▶ПодсказкаСкрыть
Подключённый резистор \(R_1\) вместе с параллельным ему резистором образует участок цепи; при каком сопротивлении мощность на нём максимальна?
▶ОтветСкрыть
1) \(R = 18\) Ом; 2) \(R_1 = 9\) Ом; 3) \(P_{MAX} = 0{,}25\) Вт.
▶РешениеСкрыть
1) \(R = \dfrac{U^2}{2P} = 18\) Ом.
2) \(P_{R_1} = \dfrac{U^2}{2R}\cdot\dfrac{1}{2 + \left(\dfrac{R}{2R_1} + \dfrac{2R_1}{R}\right)}\), откуда \(R_1 = \dfrac{R}{2} = 9\) Ом.
3) \(P_{MAX} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{U^2}{2R} = \dfrac{1}{4}P = 0{,}25\) Вт.
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2020/21, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.