Физтех, 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Скорость камня уменьшается по линейному закону. Величина \(V_0/3\) достигается и на подъёме, и на спуске.

1) \(t = 0{,}8\) с на подъёме и \(t = 1{,}6\) с на спуске;  2) \(h = 6{,}4\) м.

1) Проекция скорости камня на вертикальную ось \(v_y = v_0 - gt\). На подъёме \(v_y = \dfrac{v_0}{3}\), откуда \(t_1 = \dfrac{2v_0}{3g} = 0{,}8\) с. На спуске \(v_y = -\dfrac{v_0}{3}\), откуда \(t_2 = \dfrac{4v_0}{3g} = 1{,}6\) с.

2) \(h = v_0 t_1 - \dfrac{g t_1^2}{2}\). Подставляя \(t_1 = \dfrac{2v_0}{3g}\), получаем \[h = \frac{2v_0^2}{3g} - \frac{2v_0^2}{9g} = \frac{4v_0^2}{9g} = 6{,}4~\text{м} .\]

Давление жидкости на уровне дна одно и то же в обоих сосудах. Выразите давление под левым поршнем через силу пружины, а во втором пункте учтите, что при смещении поршней объём жидкости сохраняется.

1) \(x = \dfrac{\rho g h S}{k}\);  2) \(m = \dfrac{\rho S}{2}\,(h + 3x) = \dfrac{\rho h S}{2}\left(1 + \dfrac{3\rho g S}{k}\right)\).

1) Пусть \(P\) — давление под левым поршнем, \(P_0\) — атмосферное давление, \(x\) — удлинение пружины. Тогда \(P_0 = P + \rho g h\). Условие равновесия левого поршня: \(kx + PS = P_0 S\), откуда \(P = P_0 - \dfrac{kx}{S}\). Из этих двух соотношений \(\rho g h = \dfrac{kx}{S}\), то есть \[x = \frac{\rho g h S}{k} .\]

2) Левый поршень поднялся на \(x\), а правый опустился на \(x'\). Из постоянства объёма жидкости \(Sx = \dfrac{S}{2}\,x'\), то есть \(x' = 2x\). В новом положении равновесия пружина недеформирована, и \[\rho g\,(h + x + x') = \frac{mg}{S/2} .\] Отсюда \(m = \dfrac{\rho S}{2}\,(h + 3x) = \dfrac{\rho h S}{2}\left(1 + \dfrac{3\rho g S}{k}\right)\).

Масса планеты равна \(\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\). Для второго пункта запишите второй закон Ньютона для спутника и связь периода со скоростью.

1) \(g = \dfrac{\pi}{3}\,G\rho R\);  2) \(T = \dfrac{9}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{2G\rho}}\).

1) На поверхности планеты \(mg = G\dfrac{mM}{(2R)^2}\) при \(M = \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho\), поэтому \[g = \frac{G}{4R^2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho = \frac{\pi}{3}\,G\rho R .\]

2) Радиус орбиты \(R + h = \dfrac{3}{2}R\). Второй закон Ньютона для спутника: \[G\frac{mM}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{R+h}, \qquad v = \frac{2\pi(R+h)}{T} .\] Отсюда \(T^2 = \dfrac{4\pi^2(R+h)^3}{GM} = \dfrac{3\pi}{G\rho}\left(1 + \dfrac{h}{R}\right)^3\), и \[T = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\left(1 + \frac{h}{R}\right)^{3/2} = \frac{9}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2G\rho}} .\]

В первом пункте верхний брусок движется вместе с нижним, поэтому их ускорения равны. Во втором пункте сравните ускорения брусков и учтите силы трения на обеих поверхностях.

1) \(F_0 = 10\mu m g\);  2) \(F = 20\mu m g\).

1) Уравнения движения брусков: \(m_1 a_{10} = F_0\) и \(m_2 a_{20} = 2F_0 - \mu(m_1 + m_2) g\). Брусок \(m_1\) покоится относительно бруска \(m_2\), поэтому \(a_{10} = a_{20}\). Отсюда \[F_0 = \mu g\,m_1\,\frac{m_1 + m_2}{2m_1 - m_2} = 10\mu m g .\]

2) Уравнения движения брусков: \(m_1 a_1 = F + \mu m_1 g\) и \(m_2 a_2 = 2F - \mu m_1 g - \mu(m_1 + m_2) g\). По условию \(a_2 > a_1\). С учётом этих уравнений получаем \(F > 2\mu m_1 g\,\dfrac{m_1 + m_2}{2m_1 - m_2} = 2F_0 = 20\mu m g\).

Давление у дна складывается из атмосферного и гидростатического. Для силы сравните с силой Архимеда и силой давления на площадку приклеивания, как если бы под конструкцией была вода.

1) \(P_1 = 125\) кПа;  2) \(F = 170\) Н, направлена вниз.

1) \(P_1 = P_0 + \rho g H = 125\) кПа.

2) Пусть \(F_1 = P_1 S\) — сила, с которой вода действовала бы на площадку приклеивания, если бы вместо клея была вода, а \(F_A = \rho V g\) — сила Архимеда. В проекции на вертикаль вниз \(-F_A = F - F_1\), поэтому \[F = F_1 - F_A = P_1 S - \rho V g = P_0 S + \rho g (HS - V) = 170~\text{Н},\] направлена вниз. Без учёта атмосферного давления получилось бы 30 Н вверх; это неверно.