зад 1 Камень с башни, скорость $2V_0$
С высокой башни экспериментатор бросает камень вертикально вверх с начальной скоростью \(V_0 = 10\) м/с. После достижения максимальной высоты камень пролетает рядом с экспериментатором и падает вниз на землю.
Через какое время \(t\) после броска величина скорости камня будет равна \(2V_0\)?
Найдите путь \(S\), пройденный камнем от момента броска до момента достижения камнем скорости \(2V_0\).
Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивление воздуха не учитывать.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость \(2V_0\) достигается только при падении камня вниз. Путь складывается из подъёма до верхней точки и последующего падения.
▶ОтветСкрыть
1) \(t = 3\) с; 2) \(S = 25\) м.
▶РешениеСкрыть
1) В момент, когда скорость равна \(2V_0\) и направлена вниз, \(-2V_0 = V_0 - gt\), откуда \(t = \dfrac{3V_0}{g} = 3\) с.
2) Путь складывается из подъёма \(S_1 = \dfrac{V_0^2}{2g}\) и падения \(S_2 = \dfrac{(2V_0)^2}{2g}\): \[S = S_1 + S_2 = \frac{5V_0^2}{2g} = 25~\text{м} .\]
зад 2 Сообщающиеся сосуды, груз на поршне
На горизонтальной поверхности расположены два цилиндрических сообщающихся сосуда (см. рис.), в которые налита жидкость плотности \(\rho\). На свободных поверхностях жидкости находятся лёгкие поршни. Зазоров между стенками сосудов и поршнями нет. Левый поршень соединён пружиной жёсткости \(k\) с верхней опорой. Разность уровней жидкости в сосудах равна \(h\). Площадь сечения левого поршня \(S\), правого \(1{,}5S\). Трение поршней о стенки сосудов пренебрежимо мало. Ускорение свободного падения \(g\).
Найдите деформацию \(x\) пружины.
На правый поршень положили груз массой \(m\). Найдите массу \(M\) груза, который следует положить на левый поршень, чтобы пружина стала недеформированной. Поршни при этом не достигают дна.
▶ПодсказкаСкрыть
Давления под поршнями в каждом сосуде связаны гидростатикой через уровни жидкости. Во втором пункте учтите перемещения поршней и условие несжимаемости жидкости.
▶ОтветСкрыть
1) \(x = \dfrac{\rho g h S}{k}\); 2) \(M = \dfrac{2}{3}\,m + \rho h S\left(1 + \dfrac{5\rho g S}{3k}\right)\).
▶РешениеСкрыть
1) Пусть \(P\) — давление под левым поршнем, \(P_0\) — атмосферное давление, \(x\) — сжатие пружины. Тогда \(P = P_0 + \rho g h\). Условие равновесия поршня: \(kx + P_0 S = PS\), откуда \(P = P_0 + \dfrac{kx}{S}\). Из этих соотношений \(\rho g h = \dfrac{kx}{S}\), то есть \[x = \frac{\rho g h S}{k} .\]
2) Левый поршень опустился на \(x\), а правый поднялся на \(x'\). Из постоянства объёма жидкости \(Sx = 1{,}5\,S x'\), то есть \(x' = \dfrac{2}{3}\,x\). В новом положении равновесия пружина недеформирована, и \[\frac{Mg}{S} = \frac{mg}{1{,}5S} + \rho g\,(h + x + x') .\] Отсюда, с учётом \(x + x' = \dfrac{5}{3}\,x\) и выражения для \(x\): \[M = \frac{2}{3}\,m + \rho h S\left(1 + \frac{5\rho g S}{3k}\right) .\]
зад 3 Две планеты и спутники
У двух планет Альфа-1 и Альфа-2 одинаковые радиусы \(R\), а плотности планет равны соответственно \(\rho_1 = \rho\) и \(\rho_2 = 2\rho\). Гравитационная постоянная \(G\). Объём шара \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).
Найдите ускорение \(g\) свободного падения на расстоянии \(4R\) от центра планеты Альфа-1.
Найдите отношение \(T_2/T_1\) периодов обращения спутников, которые движутся по круговым орбитам вокруг данных планет. Высоты орбит спутников равны соответственно \(h_1 = 0{,}5R\) и \(h_2 = 1{,}5R\).
▶ПодсказкаСкрыть
Масса планеты равна плотности, умноженной на объём шара. Для второго пункта выразите период через плотность и отношение \((R+h)/R\) для каждой орбиты.
▶ОтветСкрыть
1) \(g = \dfrac{\pi}{12}\,G\rho R\); 2) \(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{5}{6}} \approx 1{,}52\).
▶РешениеСкрыть
1) Для планеты Альфа-1 \(mg = G\dfrac{mM_1}{(4R)^2}\), где \(M_1 = \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho\). Отсюда \[g = \frac{G}{16R^2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho = \frac{\pi}{12}\,G\rho R .\]
2) Из второго закона Ньютона для спутника и связи \(v = \dfrac{2\pi(R+h)}{T}\): \[T^2 = \frac{4\pi^2(R+h)^3}{GM} = \frac{3\pi}{G\rho_i}\left(1 + \frac{h}{R}\right)^3 .\] Поэтому \[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \frac{\rho_1}{\rho_2}\left(\frac{1 + h_2/R}{1 + h_1/R}\right)^3 = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{3}\right)^3 ,\] и \(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{5}{6}} \approx 1{,}52\).
зад 4 Доска с блоком и ускорением, бруски на нити
На горизонтальном столе находится доска, на которой укреплён неподвижный блок, а также бруски, соединённые нитью. Массы брусков \(m_1 = m\), \(m_2 = 2m\). Коэффициент трения скольжения верхнего бруска по нижнему равен \(\mu\), трение между доской и нижним бруском отсутствует. Доску приводят в движение с постоянным ускорением, направленным вправо. Массой нити и блока, а также трением в оси блока можно пренебречь.
Найдите максимальное ускорение \(a_0\) доски, при котором бруски не будут проскальзывать относительно друг друга.
Найдите силу \(T\) натяжения нити, если доска движется с ускорением \(a > a_0\).
▶ПодсказкаСкрыть
Если бы трения между брусками не было, более лёгкий брусок \(m_1\) проскальзывал бы относительно \(m_2\) вправо. Подумайте, в какую сторону направлена сила трения на каждый брусок.
▶ОтветСкрыть
1) \(a_0 = 2\mu g\); 2) \(T = \dfrac{(4a + \mu g)\,m}{3}\).
▶РешениеСкрыть
1) Если бы трения между брусками не было, то, так как \(m_1 < m_2\), брусок \(m_1\) двигался бы относительно \(m_2\) вправо. Поэтому сила трения на брусок \(m_1\) направлена влево, а на брусок \(m_2\) — вправо. Уравнения движения брусков: \[T_0 - \mu m_1 g = m_1 a_0 , \qquad T_0 + \mu m_1 g = m_2 a_0 .\] Отсюда \(2\mu m_1 g = (m_2 - m_1)a_0\), то есть \(a_0 = \dfrac{2\mu m_1 g}{m_2 - m_1} = 2\mu g\).
2) Пусть \(a_{\text{отн}}\) — ускорение бруска \(m_1\) относительно доски. Ускорение бруска \(m_2\) относительно доски равно \(-a_{\text{отн}}\). Уравнения движения брусков: \[T - \mu m_1 g = m_1\,(a + a_{\text{отн}}), \qquad T + \mu m_1 g = m_2\,(a - a_{\text{отн}}) .\] Исключая \(a_{\text{отн}}\), получаем \[T = \frac{(4a + \mu g)\,m}{3} .\]
зад 5 Изогнутая трубка с двумя жидкостями при ускорении
Тонкая изогнутая трубка состоит из горизонтального участка, запаянного с одного конца, и вертикального участка, открытого в атмосферу. Трубка заполнена двумя несмешивающимися жидкостями: плотности \(\rho_1\) в горизонтальном участке и плотности \(\rho_2\) в горизонтальном и вертикальном участках (см. рис.). Трубка движется с ускорением \(a = \dfrac{g}{8}\), направленным горизонтально. Геометрические размеры указаны на рисунке, \(H = L\), \(L_1 = 3L\), \(L_2 = 2L\). Атмосферное давление \(P_0\).
Найдите давление \(P_1\) в жидкости в месте изгиба трубки.
Найдите давление \(P_2\) в жидкости у запаянного конца трубки.
▶ПодсказкаСкрыть
В вертикальном участке ускорение горизонтально, поэтому давление там определяется только весом столба жидкости. Для горизонтального столба жидкости запишите второй закон Ньютона.
▶ОтветСкрыть
1) \(P_1 = P_0 + \rho_2 g L\); 2) \(P_2 = P_0 + \dfrac{5}{4}\,\rho_2 g L + \dfrac{3}{8}\,\rho_1 g L\).
▶РешениеСкрыть
1) Давление в месте изгиба определяется столбом жидкости \(\rho_2\) высотой \(H = L\): \[P_1 = P_0 + \rho_2 g L .\]
2) Второй закон Ньютона для «столба» жидкости сечением \(S\) в горизонтальном участке: \[P_2 S - P_1 S = \left(\rho_1 L_1 S + \rho_2 L_2 S\right) a .\] Подставляя \(a = \dfrac{g}{8}\), \(L_1 = 3L\), \(L_2 = 2L\) и \(P_1\), получаем \[P_2 = P_0 + \frac{5}{4}\,\rho_2 g L + \frac{3}{8}\,\rho_1 g L .\]