ИОШ, 2014/15, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Сравните положения делений нониуса и основной шкалы: при каком размере предмета и какое деление нониуса совпадает с делением основной шкалы?

Решение

При измерении предмет зажимают между неподвижной и подвижной частями штангенциркуля. Если нуль шкалы нониуса при этом точно попал на миллиметровое деление основной шкалы, размер предмета равен целому числу миллиметров (показанию основной шкалы). Если размер предмета не равен целому числу миллиметров, то нуль шкалы нониуса попадет между двумя делениями основной шкалы. В этом случае и работает шкала нониуса, которая позволяет определить размер предмета с точностью до \(0{,}1\) мм. Это делается так. Поскольку цена деления шкалы нониуса равна \(0{,}9\) мм, то 10 делений шкалы нониуса (полная шкала) равны \(9\) мм, 9 делений — \(8{,}1\) мм, 8 делений — \(7{,}2\) мм, 7 делений — \(6{,}3\) мм, 6 делений — \(5{,}4\) мм, 5 делений — \(4{,}5\) мм, 4 деления — \(3{,}6\) мм, 3 деления — \(2{,}7\) мм, 2 деления — \(1{,}8\) мм, 1 деление — \(0{,}9\) мм.

Поэтому если размер предмета равен целому числу миллиметров плюс \(0{,}9\) мм, расстояние от нуля шкалы нониуса до следующего миллиметрового деления основной шкалы будет равно \(0{,}1\) мм, и с одним из делений основной шкалы совпадет девятое деление шкалы нониуса (поскольку оно находится от нуля шкалы нониуса на расстоянии \(8{,}1\) мм). Если размер предмета равен целому числу миллиметров плюс \(0{,}8\) мм, расстояние между нулем шкалы нониуса и следующим миллиметровым делением основной шкалы равно \(0{,}2\) мм, и с одним из делений основной шкалы совпадет восьмое деление шкалы нониуса. Если размер предмета равен целому числу миллиметров плюс \(0{,}7\) мм, расстояние между нулем шкалы нониуса и следующим миллиметровым делением основной шкалы равно \(0{,}3\) мм, и с одним из целых значений основной шкалы совпадет седьмое деление шкалы нониуса. И т.д.

Таким образом, размер предмета определяется так: он равен целому числу миллиметровых делений основной шкалы, которое «перешагнул» нуль шкалы нониуса, и такому числу десятых долей миллиметра, какое деление шкалы нониуса точно совпало с одним из миллиметровых делений основной шкалы (для примера, показанного на рисунке, — \(7{,}6\) мм).

Подсказка

Какое вещество составляет большую часть тела человека? Что известно о том, как меняется объём тела при вдохе и выдохе?

Ответ

\(V \approx m\) (объём в литрах численно равен массе в килограммах); точность оценки \(\pm 1\) л.

Решение

Проще (и точнее) всего объём тела человека оценить как \(V = m/\rho\), где в качестве плотности нужно взять плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\) \(= 1\) кг/л, поскольку тело человека содержит много воды. Таким образом, объём тела человека в литрах численно равен его весу в килограммах. Это значение приближённое, в том числе и потому, что объём тела человека меняется при дыхании.

Точность этой оценки можно определить так. Объём лёгких взрослого человека равен 5–6 литрам. При дыхании вентилируется около 1 литра объёма лёгких. Как мы знаем, тело человека при полном вдохе плавает на поверхности воды, при полном выдохе — тонет (изменение объёма тела, и соответственно средней плотности, при вдохе–выдохе используют аквалангисты для подъёма или погружения). Это значит, что при наполнении лёгких средняя плотность тела становится чуть меньше плотности воды, при выдохе — чуть больше. Поэтому точность нашей оценки объёма человеческого тела — \(\pm 1\) л.

Подсказка

Подумайте, как должны быть соединены лампы, чтобы каждая из них получала полное напряжение сети, а выключатели управляли нужными группами ламп.

Ответ

Схемы — см. решение: левый рисунок — возможный неправильный монтаж (лампы включены в сеть последовательно), правый — правильная схема.

Решение

Лампы горят слабым накалом, если к напряжению бытовых электрических сетей \(220\) В они подключаются не параллельно, а последовательно (в этом случае напряжение на каждой из ламп будет меньше, чем \(220\) В). Одна из возможных схем неправильного включения ламп показана на левом рисунке. Правый рисунок даёт правильную схему включения ламп.

Подсказка

Выразите количества теплоты на изохорах через разности температур, а отношение давлений на концах изохор найдите из уравнения адиабаты.

Ответ

\(\eta = \dfrac{T_2 - T_1}{T_2} \approx 0{,}44\).

Решение

Поскольку процессы \(1-2\) и \(3-4\) — адиабатические, КПД цикла определяется соотношением \[\eta = \frac{Q_{2-3} - Q_{4-1}}{Q_{2-3}},\] где \(Q_{2-3}\) — количество теплоты, полученное газом на участке \(2-3\), \(Q_{4-1}\) — количество теплоты, отданное газом на участке \(4-1\). Поскольку процессы \(2-3\) и \(4-1\) — изохорические, \[Q_{2-3} = \alpha R\,(T_3 - T_2), \qquad Q_{4-1} = \alpha R\,(T_4 - T_1),\] где \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности, зависящий от атомности газа, \(T_3\) и \(T_4\) — температуры газа в состояниях 3 и 4. Из закона Клапейрона–Менделеева имеем \[T_3 - T_2 = T_2\left(\frac{p_3}{p_2} - 1\right), \qquad T_4 - T_1 = T_1\left(\frac{p_4}{p_1} - 1\right),\] где объём газа на изохоре \(2-3\) равен \(V_2 = V_3\), а на изохоре \(4-1\) — \(V_4 = V_1\).

Отношение давлений на концах изохор одинаковое. Действительно, из уравнения адиабаты \(p_4 = p_3\left(\dfrac{V_3}{V_4}\right)^\gamma\) и \(p_1 = p_2\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)^\gamma\), поэтому давление на изохорах \(2-3\) и \(4-1\) изменяется в одинаковое количество раз: \[\frac{p_4}{p_1} = \frac{p_3}{p_2}.\] В результате из определения КПД и приведённых формул находим \[\eta = \frac{T_2 - T_1}{T_2} = \frac{230}{523} = 0{,}44.\]

Подсказка

Рассмотрите равновесие шарика при действии внешней силы на направляющую и найдите, при каком соотношении коэффициентов трения равновесие не нарушается при любой силе.

Ответ

\(\alpha \leqslant 2\arctg\mu\).

Решение

Очевидно, трение будет препятствовать вытаскиванию направляющей вправо, поскольку может возникнуть эффект заклинивания: сила трения между направляющей и шариком «потянет» шарик вправо, это приведёт к увеличению сил реакции, что, в свою очередь, увеличит трение. Нарушение работы храпового механизма рассматриваемого типа может происходить в двух местах. При малом трении между шариком и направляющей направляющую можно вытащить вправо, и шарик не будет ей мешать, но при этом не будет вращаться, поскольку вращаться ему не позволит трение между ним и корпусом. При малом трении между шариком и корпусом проскальзывание между шариком и направляющей не будет возникать, но направляющую можно вытащить вправо, вращая шарик, поскольку его вращению не мешает трение между ним и корпусом. Таким образом, и трение между направляющей и шариком, и трение между шариком и корпусом необходимы для нормальной работы храпового механизма рассматриваемого типа, причём по условию нарушаться его работа будет при проскальзывании шарика относительно корпуса (там, по условию, трение меньше).

Пусть на направляющую действует горизонтальная сила \(F\), направленная вправо. Пока механизм работает, шарик находится в равновесии. Поэтому применим к шарику условия равновесия и исследуем возможность их нарушения. На шарик действуют: сила трения со стороны направляющей \(F_{\text{тр},1}\), направленная вправо и равная внешней силе, поскольку направляющая находится в равновесии; сила трения со стороны корпуса \(F_{\text{тр},2}\), направленная вправо–вниз (по часовой стрелке, поскольку в отсутствие трения между шариком и корпусом шарик вращался бы против часовой стрелки, а трение препятствует этому вращению); сила реакции со стороны направляющей \(N_1\) и сила реакции со стороны корпуса \(N_2\) (см. рисунок). Условия равновесия шарика и направляющей дают: \[N_2\sin\alpha - F_{\text{тр},2}\cos\alpha - F_{\text{тр},1} = 0, \qquad N_1 - N_2\cos\alpha - F_{\text{тр},2}\sin\alpha = 0,\] \[F_{\text{тр},1} = F_{\text{тр},2}, \qquad F_{\text{тр},1} = F,\] где \(\alpha\) — угол наклона наклонной грани корпуса (силой тяжести шарика пренебрегаем по сравнению с силами реакции и трения). Из этой системы уравнений находим \[N_1 = N_2 = \frac{(1 + \cos\alpha)\,F}{\sin\alpha}.\] С ростом внешней силы \(F\) растут силы реакции и максимальные значения сил трения. Поэтому равновесие не нарушится при любом значении внешней силы, если выполнено условие \(F_{\text{тр},2} < \mu N_2\), или \[\mu \geqslant \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \tg\frac{\alpha}{2}.\] Аналогичное условие между направляющей и шариком также не нарушится, поскольку силы реакции \(N_1\) и \(N_2\) одинаковы, а коэффициент трения между шариком и корпусом меньше коэффициента между шариком и направляющей. Отсюда находим ограничение на угол наклона грани корпуса механизма: \[\alpha \leqslant 2\arctg\mu.\]

Подсказка

Запишите условия равновесия малого участка цепи между соседними тросами, учитывая, что сила натяжения каждого троса одинакова, а нагрузка равномерна по горизонтали.

Ответ

\(y(x) = \dfrac{f}{2A}\,x^2\), где \(f = F/\Delta x\) — удельная нагрузка на единицу длины моста, \(A\) — горизонтальная составляющая силы натяжения цепи. Цепь представляет собой параболу.

Решение

Рассмотрим элемент цепи между двумя тросами, расположенными через один (см. рисунок). На этот участок действуют две силы натяжения цепи (по краям) и сила со стороны вертикального троса (в центре). Условия равновесия этого элемента дают \[\begin{cases} T(x + \Delta x)\cos\alpha(x + \Delta x) = T(x)\cos\alpha(x), \\ T(x + \Delta x)\sin\alpha(x + \Delta x) = F + T(x)\sin\alpha(x), \end{cases}\] где \(T(x)\) — сила натяжения цепи как функция \(x\), \(\alpha(x)\) — угол наклона цепи к горизонту как функция \(x\), \(\Delta x\) — расстояние между ближайшими тросами, \(F\) — сила натяжения вертикальных тросов (которая по условию одинакова для всех тросов и которая может быть связана с массой моста \(M\) и количеством вертикальных тросов \(N\): \(F = Mg/N\)).

Добавляя и вычитая из первого равенства величину \(T(x + \Delta x)\cos\alpha(x)\) и деля его на \(\Delta x\), получим \[T(x + \Delta x)\left(\frac{\cos\alpha(x + \Delta x) - \cos\alpha(x)}{\Delta x}\right) = -\cos\alpha(x)\left(\frac{T(x + \Delta x) - T(x)}{\Delta x}\right).\] Если считать, что \(\Delta x\) мало, то выражения в скобках представляют собой определения производных. Поэтому \[T'(x)\cos\alpha(x) + T(x)\,\bigl(\cos\alpha(x)\bigr)' = 0 \quad\Rightarrow\quad \bigl(T(x)\cos\alpha(x)\bigr)' = 0,\] где штрих обозначает производную соответствующей функции по \(x\). Отсюда \[T(x)\cos\alpha(x) = A,\] где \(A\) — некоторая постоянная (имеющая смысл горизонтальной составляющей силы натяжения цепи, которая равна горизонтальной составляющей силы, действующей со стороны цепи на пилоны). Аналогичные вычисления со вторым условием равновесия дают \[\bigl(T(x)\sin\alpha(x)\bigr)' = f,\] где \(f = F/\Delta x\) — удельная нагрузка на единицу длины моста. Отсюда \[T(x)\sin\alpha(x) = fx + B,\] где \(B\) — некоторая постоянная. Выражая из первого соотношения силу \(T(x)\) и подставляя её во второе, получим \[A\tg\alpha(x) = fx + B.\] Но тангенс угла наклона цепи к горизонту (к оси \(x\)) есть производная уравнения цепи по переменной \(x\). Поэтому \[A\,y'(x) = fx + B.\] Поскольку при \(x = 0\) (нижняя точка цепи) цепь расположена горизонтально, постоянная \(B\) должна быть взята равной нулю. Так как производная уравнения цепи \(y'(x)\) зависит от \(x\) линейно, то \(y\) зависит от \(x\) квадратично: \[y(x) = \frac{f}{2A}\,x^2 + C,\] где \(C\) — постоянная, которая должна быть выбрана равной нулю, так как при \(x = 0\) \(y = 0\). Таким образом, цепь представляет собой параболу \[y(x) = \frac{f}{2A}\,x^2.\]