ИОШ, 2016/17, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Песчинки могут переместиться только вместе с водой. Какое движение воды возникает, если одна сторона стакана холоднее другой, и куда оно направлено на рисунке?

Ответ

На улице холодно.

Решение

Переместить взвесь песчинок из одного места стакана в другое можно только с помощью движения воды. Наиболее заметное движение воды — это конвекция: опускание тяжёлых холодных масс воды и подъём горячих. Значит, температура на улице отличается от температуры в комнате, чтобы улица могла «греть» или «охлаждать» воду в стакане, вызывая конвекцию.

Расположение песчинок возникнет, если организовать конвективные потоки в направлении стрелки на рисунке. Для этого нужно, чтобы слои воды, близкие к окну, охлаждались. Тогда нижние слои движутся в направлении комнаты, а более тёплые слои, которые были там, поднимаются вверх. В результате песчинки, опускаясь вниз, смещаются током воды в направлении комнаты. Поэтому на улице холодно.

Подсказка

Какое количество теплоты в единицу времени отдаёт батарея, если через неё проходит масса \(\mu\) воды в единицу времени?

Ответ

\(\mu \approx 0{,}107\ \text{кг/с}\).

Решение

Пусть в единицу времени через батарею проходит масса воды \(\mu\). Такое количество воды входит в батарею с температурой \(t_1\) и выходит с температурой \(t_2\). Следовательно, в единицу времени батарея теряет \(c\mu(t_1-t_2)\), где \(c\) — удельная теплоёмкость воды. Потеря батареей тепла в единицу времени и есть мощность батареи. Поэтому \[P = c\mu\,(t_1-t_2),\] и, следовательно, \[\mu = \frac{P}{c\,(t_1-t_2)} = 0{,}107\ \text{кг/с}.\]

Подсказка

Сравните напряжения на вольтметрах, включённых параллельно друг другу, и соотношения между напряжениями в контурах цепи. Затем проверьте, какой из вольтметров 1 или 2 даёт показания, не согласующиеся с законом Кирхгофа.

Ответ

Неисправен вольтметр 2; истинное напряжение на нём \(V_2=3\ \text{В}\).

Решение

Ток через вольтметры 4 и 5 одинаков, а так как вольтметры одинаковы, у них одинаковое сопротивление и, следовательно, одинаковое напряжение. Так как их показания одинаковы, они исправны.

Напряжение на вольтметре 3 равно сумме напряжений на вольтметрах 4 и 5. Так как показания вольтметра 3 действительно равны сумме показаний вольтметров 4 и 5, вольтметр 3 исправен.

Напряжение на вольтметре 1 равно сумме напряжений на вольтметрах 2 и 3. Для показаний вольтметров это условие не выполнено, поэтому неисправен либо вольтметр 1, либо вольтметр 2. Докажем, что неисправным является вольтметр 2. Ток через него равен сумме токов через вольтметр 3 и вольтметры 4, 5. Ток через вольтметры 4 и 5 вдвое меньше тока через вольтметр 3. Поэтому ток через вольтметр 2 в \(3/2\) раза больше тока через вольтметр 3, и, следовательно, его показания должны быть \(3\) В (а не \(4\) В). Тогда условие \(V_1=V_2+V_3\) будет выполнено, и, значит, вольтметр 1 исправен.

Итак, неисправным является вольтметр 2, напряжение на нём \(V_2=3\ \text{В}\).

Подсказка

Какую частоту увидит отражатель, движущийся навстречу волне? Какую частоту зарегистрирует радар, отражённый сигнал от которого возвращается от движущейся машины?

Ответ

Частота принятого сигнала больше посланной. По официальному решению скорость машины \(83{,}3\ \text{км/ч}\), поэтому машину нужно фотографировать.

Решение

Измерение скорости машины происходит благодаря эффекту Доплера — изменению частоты отражённого сигнала при движении отражателя. Пусть радар излучает сигнал в течение времени \(\Delta t\). Тогда этот сигнал содержит \(\nu_0\Delta t\) колебаний электромагнитного поля. Найдём, в течение какого времени придёт к приёмнику отражённый сигнал, содержащий такое же количество колебаний.

Если начало сигнала пришло к отражателю в момент времени \(t\), то его «конец» находится в этот момент на расстоянии \(c\Delta t\) от отражателя и дойдёт до него через время \(\Delta t'=\dfrac{c\Delta t}{c+v}\). После отражения «конец» сигнала окажется на расстоянии \(\Delta l'=\dfrac{vc\Delta t}{c+v}\) ближе к приёмнику, чем его начало, и придёт к приёмнику через время \[\Delta t''=\frac{c\,\Delta t}{c+v}-\frac{v\,\Delta t}{c+v}=\frac{c-v}{c+v}\,\Delta t\] после начала. Так как сигнал содержит то же число колебаний поля, что и начальный, частота принятого сигнала равна \[\nu'=\frac{c+v}{c-v}\,\nu_0 \qquad (*)\] Таким образом, частота сигнала при движении отражателя навстречу излучателю растёт. Скорость отражателя находим из формулы \((*)\): \(v=\dfrac{\nu'-\nu_0}{\nu'+\nu_0}\,c\).

Так как скорость машины много меньше скорости света, изменение частоты сигнала много меньше самой частоты. Поэтому \[v=\frac{\Delta\nu}{2\nu_0}\,c \approx 83{,}3\ \text{км/ч},\] следовательно, машину нужно фотографировать, чтобы оштрафовать водителя.

Подсказка

Каждый выключатель должен переключать ток с верхней линии на нижнюю и наоборот. Какой режим двойного выключателя это обеспечивает?

Ответ

В первом варианте нужно три двойных выключателя во втором режиме, во втором — четыре.

Решение

В данной в условии цепи выключатели выполняют функцию переключения тока с верхней линии цепи на нижнюю и наоборот. Поэтому если в системе с большим количеством выключателей каждый будет делать то же самое — переключать ток с верхней линии на нижнюю и наоборот, то каждый (независимо от положения других) будет включать и выключать лампочку. Значит, для организации требуемой цепи необходимо использовать нужное количество двойных выключателей во втором режиме. Например, для цепи, показанной на рисунке, лампочка горит.

Если переключить любой выключатель (например, \(K_2\); см. рисунок), лампочка погаснет.

Если в этом положении переключить любой выключатель, лампочка снова загорится (например, \(K_3\); см. рисунок).

И т.д. В первом варианте нужно вставить три таких двойных выключателя, во втором — четыре.

Подсказка

Время столкновения определяется периодом малых колебаний шара, а жёсткость шара можно выразить через модуль Юнга, как для пружины.

Ответ

\(\Delta t \sim 10^{-4}\) с; время столкновения от скорости шара не зависит.

Решение

Когда шар налетает на стенку, его кинетическая энергия переходит в энергию деформации, а затем энергия деформации снова переходит в кинетическую энергию шара. Следовательно, время столкновения шара со стенкой по порядку величины совпадает с периодом малых колебаний поверхности шара. Так как эти колебания малые (малы деформации шара при столкновении), они гармонические, и их период не зависит от амплитуды. Поэтому время столкновения от скорости шара не зависит.

Если бы на стенку налетала не шар, а упругая пружина, для времени столкновения нужно было бы взять формулу для периода колебаний пружинного маятника \[\Delta t = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\] где \(m\) — масса пружины, \(k\) — её жёсткость. Поэтому для нашей задачи нужно построить аналог коэффициента жёсткости. Это легко сделать, исходя из определения модуля Юнга \(\dfrac{ES}{l}\,\Delta l = F\), поскольку жёсткость — это коэффициент пропорциональности между силой и деформацией. Здесь \(l\) — размер шара (по порядку величины \(R\)), \(S\) — площадь поперечного сечения (по порядку величины \(R^2\)). Отсюда находим время столкновения \[\Delta t = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{ER}} \sim 10^{-4}\ \text{с}.\]

Эту же оценку (с точностью до числового множителя) можно получить и так. Скорость звука в твёрдом теле есть \(c=\sqrt{E/\rho}\). За время столкновения звуковая волна должна дважды пройти шар, поэтому \[\Delta t \sim \frac{2R}{c} = 2R\sqrt{\frac{\rho}{E}} = 2\sqrt{\frac{\rho R^3}{ER}} \sim 2\sqrt{\frac{m}{ER}} \sim 10^{-4}\ \text{с}.\]