ИОШ, 2017/18, отборочный этап, 9-10 класс

Подсказка

Запишите соотношения между производительностями насосов и связь разности объёмов с временем работы.

Ответ

\(p_1 = 1{,}5\ \text{м}^3\text{/ч}\), \(p_2 = 3\ \text{м}^3\text{/ч}\), \(p_3 = 6\ \text{м}^3\text{/ч}\).

Решение

Пусть производительности насосов \(p_1\), \(p_2\) и \(p_3\). Имеем из условия \[\begin{cases} 2p_1 = p_2, \\ 2p_2 = p_3, \\ (p_3 - p_2)\,t = \Delta V. \end{cases}\] Решая эту систему уравнений, получим \[p_1 = \frac{\Delta V}{2t} = 1{,}5\ \text{м}^3\text{/ч}, \qquad p_2 = \frac{\Delta V}{t} = 3\ \text{м}^3\text{/ч}, \qquad p_3 = \frac{2\,\Delta V}{t} = 6\ \text{м}^3\text{/ч}.\]

Подсказка

Выпишите массу кислоты и массу раствора до и после возвращения выпаренной порции. Что при выпаривании меняется, а что остаётся неизменным?

Ответ

\(36\,\%\).

Решение

Пусть масса кислоты в растворе \(m\), масса раствора (до выпаривания воды) \(M\). Тогда концентрация раствора до выпаривания равна \[C = \frac{m}{M}.\] Для выпаривания взяли \(0{,}2M\) (содержащих \(0{,}2m\) кислоты) и выпарили так, что концентрация этой порции возросла вдвое. Для этого полная масса выпариваемого раствора должна уменьшиться вдвое, т. е. стать \(0{,}1M\). Поэтому полная масса раствора (после смешивания) равна \(0{,}8M + 0{,}1M = 0{,}9M\) при условии, что масса кислоты в растворе не изменилась. Новая концентрация раствора равна \[C_1 = \frac{m}{0{,}9M} = \frac{C}{0{,}9}.\] Отсюда \[C = 0{,}9\,C_1 = 36\,\%.\]

Подсказка

Расход воды через малое отверстие определяется перепадом давлений до и после него. Сравните перепады давлений в первом и втором случае и выясните, меняются ли они в процессе вытекания.

Ответ

\(t = 2\cdot 10^3\ \text{с}\).

Решение

Очевидно, количество воды, протекающей в единицу времени через малое отверстие (расход воды), определяется перепадом давлений в жидкости до и после отверстия. При том же самом перепаде давлений и площади отверстия расход воды будет тем же самым. Найдём перепад давлений в первом и втором случае.

В первом случае в момент начала вытекания воды перепад давлений определяется высотой столба воды над поршнем и равен \[\Delta p_1 = \rho g h = 10^3\ \text{Па}.\] Во втором случае избыточное давление под поршнем создаётся благодаря его притяжению к Земле и равно \[\Delta p_2 = \frac{mg}{S} = 10^3\ \text{Па}.\] При этом перепад давлений во втором случае не меняется в процессе перетекания воды. Действительно, когда часть воды перетечёт из-под поршня, давление под поршнем увеличится и станет равно избыточному давлению, создаваемому поршнем, плюс давление столба перетекшей жидкости (см. рисунок). Но на величину давления столба перетекшей жидкости увеличится и давление воды перед отверстием. Поэтому перепад давлений до и после отверстия не меняется в процессе перетекания воды и, следовательно, не меняется и скорость перетекания воды.

Отсюда находим время перетекания воды: \[t = \frac{V}{v} = \frac{hS}{v} = 2\cdot 10^3\ \text{с}.\]

Подсказка

Подумайте, какой симметрией обладает цепь и что можно сказать о токе между точками пересечения колец. Какую долю длины кольца занимает каждый участок между точками \(A\), \(C\), \(D\), \(B\)?

Ответ

\(r_0 = \dfrac{5r}{12}\).

Решение

Поскольку электрическая цепь, составленная из колец, симметрична относительно прямой, проходящей через точки \(A\) и \(B\), ток между точками \(C\) и \(D\) (см. рисунок) не потечёт, и эти участки можно выбросить из цепи без изменения её сопротивления. Поэтому данная цепь эквивалентна цепи, показанной на следующем рисунке, причём сопротивления резисторов равны сопротивлениям проводов \(AC\) (или \(CB\), или \(AD\), или \(DB\)).

Эти сопротивления найдём из следующих соображений. Очевидно, что длины дуг \(CD\) равны \(\pi R/3\) (как дуг, опирающихся на угол \(\pi/3\)). Поэтому длина участка \(AC\) (или \(CB\), или \(AD\), или \(DB\)) равна \(\pi R - \dfrac{\pi R}{6} = \dfrac{5\pi R}{6}\). А поскольку сопротивление проволоки пропорционально её длине, сопротивление этих участков \(r_x\) найдём из пропорции \[\frac{2\pi R}{r} = \frac{5\pi R/6}{r_x}.\] Отсюда находим \[r_x = \frac{5r}{12}.\] Используя далее правила нахождения общих сопротивлений при последовательном и параллельном соединении проводников, получим для сопротивления цепи из колец \[r_0 = \frac{5r}{12}.\]

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса для одного переливания «туда-сюда» и выясните, как меняется разность температур от пары к паре.

Ответ

\(6\) пар переливаний.

Решение

Очевидно, что в первый раз после возвращения горячей воды в сосуд с холодной водой её температура возрастёт на такую же величину \(\Delta t = 10\,^\circ\text{C}\), на которую охладилась горячая вода. Действительно, пусть масса воды в сосудах \(m\). После одной пары переливаний «туда-сюда» она будет также равна \(m\), но температура воды в горячем сосуде будет меньше на величину \(\Delta t\). А значит, в течение одной пары переливаний вода в этом сосуде отдаст количество теплоты \(Q = cm\,\Delta t\) (\(c\) — удельная теплоёмкость воды), которое примет вода в холодном сосуде. А поскольку её масса такая же, она нагреется на ту же величину \(\Delta t\). Таким образом, разность температур воды в сосудах после одной пары переливаний «туда-сюда» уменьшится вдвое: была \(t_1 - t_2 = 40\,^\circ\text{C}\), стала \[(t_1 - t_2)_1 = t_1 - t_2 - 2\,\Delta t = 20\,^\circ\text{C}\] (где символом \((t_1 - t_2)_1\) обозначена разность температур после одной пары переливаний «туда-сюда»).

Очевидно, новая разность температур пропорциональна старой разности с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от масс воды в сосуде и переливаемой воды. Действительно, согласно уравнению теплового баланса передаваемые количества теплоты линейно зависят от температур, при этом новая разность температур (после одной пары переливаний) должна обращаться в нуль, если первоначальные температуры воды в сосудах одинаковы. Т. е. \[(t_1 - t_2)_1 = \alpha\,(t_1 - t_2),\] где коэффициент пропорциональности \(\alpha\) зависит только от масс воды в сосуде и переливаемой воды, но не от температур воды в сосудах (формулу (1) можно доказать непосредственным использованием уравнения теплового баланса). А поскольку во второй раз переливались те же массы воды, то разность температур воды в сосудах после второй пары переливаний \((t_1 - t_2)_2\) будет во столько же раз меньше величины \((t_1 - t_2)_1\), во сколько она меньше величины \(t_1 - t_2\). А поскольку, как это следует из данных условия, \[(t_1 - t_2)_1 = \frac{1}{2}\,(t_1 - t_2),\] то для разности температур воды в сосудах после второй пары переливаний получим \[(t_1 - t_2)_2 = \frac{1}{2}\,(t_1 - t_2)_1 = \frac{1}{4}\,(t_1 - t_2).\] Продолжая переливания, получим для разности температур после \(n\) пар переливаний \[(t_1 - t_2)_n = \frac{1}{2^n}\,(t_1 - t_2).\] Далее действуем подбором:

• одна пара переливаний: \((t_1 - t_2)_1 = \dfrac{1}{2}(t_1 - t_2) = 20\,^\circ\text{C}\);

• две пары: \((t_1 - t_2)_2 = \dfrac{1}{4}(t_1 - t_2) = 10\,^\circ\text{C}\);

• три пары: \((t_1 - t_2)_3 = \dfrac{1}{8}(t_1 - t_2) = 5\,^\circ\text{C}\);

• четыре пары: \((t_1 - t_2)_4 = \dfrac{1}{16}(t_1 - t_2) = 2{,}5\,^\circ\text{C}\);

• пять пар: \((t_1 - t_2)_5 = \dfrac{1}{32}(t_1 - t_2) = 1{,}25\,^\circ\text{C}\);

• шесть пар: \((t_1 - t_2)_6 = \dfrac{1}{64}(t_1 - t_2) = 0{,}625\,^\circ\text{C}\).

Т. е. чтобы разность температур воды в сосудах стала меньше одного градуса, нужно сделать шесть пар переливаний воды «туда-сюда».

Подсказка

Вода не окружает пробку со всех сторон, поэтому сила Архимеда не равна \(\rho g V\). Какую силу вода создаёт на поверхность пробки, которой у пробки, в отличие от усечённого конуса, нет? Как эта сила зависит от уровня воды?

Ответ

Пробка всплывёт, если её плотность меньше \(\rho_{\max} = \rho_0\left(1 - 3\dfrac{r^2}{R^2} + 2\dfrac{r^3}{R^3}\right)\) (не зависит от угла \(\alpha\)).

Решение

Пробка всплывёт, если сила Архимеда, возникающая при наливании жидкости, будет больше силы тяжести пробки. Для вычисления силы Архимеда заметим, что жидкость не окружает пробку со всех сторон, поэтому здесь нельзя использовать формулу \(\rho g V\), а нужно явно вычислять равнодействующую сил, действующих на пробку со стороны жидкости. Рассмотрим сначала случай, когда уровень жидкости выше основания пробки.

Если бы пробка была не пробкой, а усечённым конусом, повторяющим ту часть пробки, которая находится выше отверстия (см. рисунок), то сила Архимеда определялась бы формулой \(\rho_0 g V_{\text{у.к.}}\), где \(V_{\text{у.к.}}\) — объём усечённого конуса (или его подводной части, если уровень жидкости в сосуде ниже основания конуса). Но верхнее основание и боковая поверхность у нашей пробки такие же, как у усечённого конуса, а вот нижнего основания, на которое действует сила со стороны жидкости, у пробки нет. А поскольку на нижнее основание усечённого конуса действует сила \(\rho_0 g h_{\text{ур}}\,\pi r^2\), где \(h_{\text{ур}}\) — глубина жидкости над отверстием, то выталкивающая сила, действующая на пробку, равна \[F_A = \rho_0 g\,V_{\text{у.к.}} - \rho_0 g\,h_{\text{ур}}\,\pi r^2 .\]

Отсюда видно, что при увеличении уровня жидкости сила Архимеда уменьшается, а при какой-то глубине даже меняет знак — становится силой, прижимающей пробку ко дну.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда уровень жидкости ниже основания пробки (см. рисунок). Используя ту же логику, для силы Архимеда в этом случае получим \[F_A = \rho_0 g\,V_{\text{п.ч.у.к.}} - \rho_0 g\,h_{\text{ур}}\,\pi r^2 ,\] где \(V_{\text{п.ч.у.к.}}\) — объём той части пробки, которая находится в жидкости («погружённая часть усечённого конуса»). Очевидно, что при увеличении уровня жидкости первое слагаемое увеличивается, второе — уменьшается (с учётом знака). Но поскольку уменьшение второго слагаемого при увеличении уровня на величину \(\Delta h\) равно \(\rho_0 g\,\Delta h\,\pi r^2\), а первое увеличивается на \(\rho_0 g\,\Delta h\,\pi r_x^2\) (где \(r_x\) — радиус сечения конуса на высоте поверхности жидкости), то, поскольку \(r_x \geq r\), с ростом уровня воды (пока уровень ниже верхнего основания пробки) выталкивающая сила растёт. Поэтому выталкивающая сила максимальна, когда уровень воды совпадает с верхним основанием пробки.

Обозначим \(H\) — высоту всей конической пробки, \(h_0\) — высоту «малого конуса», находящегося ниже уровня отверстия. Так как \(\operatorname{ctg}(\alpha/2) = H/R = h_0/r\), то высота усечённой части пробки, находящейся выше отверстия, равна \(H - h_0 = (R - r)\operatorname{ctg}(\alpha/2)\). Тогда максимальная сила Архимеда \[F_{A\,\max} = \rho_0 g\left[\frac{\pi (H-h_0)}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) - \pi r^2 (H-h_0)\right] = \frac{\pi}{3}\,\rho_0 g\,\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\,(R-r)^2\,(R+2r).\] Пробка всплывёт, если \(F_{A\,\max} > mg\), где \(m = \rho\,\dfrac{\pi}{3}R^2 H = \rho\,\dfrac{\pi}{3}R^3\operatorname{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\) — масса пробки (\(\rho\) — плотность её материала). Отсюда находим, что пробка всплывёт, если \[\rho < \rho_0\,\frac{(R-r)^2(R+2r)}{R^3} = \rho_0\left(1 - 3\,\frac{r^2}{R^2} + 2\,\frac{r^3}{R^3}\right).\]