ИОШ, 2020/21, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Запишите связь массы, объёма и плотности для смеси в третьем сосуде: сумма масс жидкостей равна \(1{,}6m\), а сумма их объёмов равна объёму сосуда.

Ответ

Масса жидкости 1 во всех трёх сосудах \(M_1 = 1{,}25\,m\); масса жидкости 2 \(M_2 = 3{,}15\,m\).

Решение

Пусть \(V\) — объём каждого сосуда, а в третьем сосуде содержится масса \(m_1\) первой жидкости и масса \(m_2\) второй. Тогда \[m_1 + m_2 = 1{,}6\,m, \qquad \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} = V ,\] где \(\rho_1\) и \(\rho_2\) — плотности первой и второй жидкостей. Плотности жидкостей, очевидно, равны \(\rho_1 = \dfrac{m}{V}\), \(\rho_2 = \dfrac{1{,}8\,m}{V}\). Подставляя их во второе уравнение, получим \[m_1 + m_2 = 1{,}6\,m, \qquad 1{,}8\,m_1 + m_2 = 1{,}8\,m .\] Решая систему, находим \(m_1 = 0{,}25\,m\), \(m_2 = 1{,}35\,m\). Поэтому во всех трёх сосудах содержится масса первой жидкости \[M_1 = m + 0{,}25\,m = 1{,}25\,m\] и масса второй жидкости \[M_2 = 1{,}8\,m + 1{,}35\,m = 3{,}15\,m .\]

Подсказка

Шарик проходит, если его центр лежит дальше \(2a\) от каждой проволоки. Найдите область внутри ячейки, в которую должен попасть центр шарика, и сравните её площадь с площадью ячейки.

Ответ

Через сетку пролетит одна треть падающего потока.

Решение

Так как радиус трубы много больше размеров ячейки, число ячеек, граничащих со стенками трубы, мало по сравнению с числом внутренних прямоугольных ячеек. Поэтому можно считать, что все ячейки сетки прямоугольные с размером \(8a \times 12a\).

Через сетку пройдут те шарики, центры которых пролетают дальше от проволочек, чем на расстоянии \(2a\). То есть те шарики, центры которых попадают в прямоугольник внутри ячейки размером \(8a \times 4a\) (см. рисунок). Его площадь \(32a^2\), площадь ячейки сетки \(96a^2\), а шарики распределены по пучку равномерно, поэтому доля шариков, пролетающих через каждую ячейку, \[\frac{32a^2}{96a^2} = \frac{1}{3} .\] Следовательно, через сетку в трубе пролетит одна треть падающего потока шариков.

Подсказка

Для последовательно соединённых пружин сила упругости в них одинакова. Найдите общую жёсткость комбинированной пружины, а затем удлинение каждой из пружин как функцию времени.

Ответ

\(v_A = \dfrac{2}{5}\,v\);  \(F(t) = \dfrac{3}{5}\,k v t\).

Решение

Так как конец пружины движется равномерно, внешняя сила в любой момент времени равна силе упругости комбинированной пружины. При последовательном соединении пружин комбинированная пружина подчиняется закону Гука, а её коэффициент жёсткости определяется формулой \[\frac{1}{k_{\text{общ}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \quad\Rightarrow\quad k_{\text{общ}} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} = \frac{3}{5}\,k ,\] где \(k_1 = \dfrac{3k}{2}\) и \(k_2 = k\) — жёсткости пружин-частей. Поэтому в любой момент времени \[F(t) = k_{\text{общ}}\, x = \frac{3}{5}\,k x ,\] где \(x\) — удлинение комбинированной пружины, равное перемещению её свободного конца. Поскольку конец движется с постоянной скоростью, \(x = vt\), и \[F(t) = \frac{3}{5}\,k v t .\]

Найдём теперь скорость точки соединения пружин. Сила упругости в обеих пружинах одинакова и равна \(F(t)\). Удлинение пружины у стены, равное перемещению точки А, равно \[x_A = \frac{F(t)}{3k/2} = \frac{3}{5}\cdot\frac{kvt}{(3/2)k} = \frac{2}{5}\,vt .\] Отсюда точка соединения пружин движется с постоянной скоростью \(v_A = \dfrac{2}{5}\,v\), то есть составляет \(\dfrac{2}{5}\) от скорости конца комбинированной пружины.

Подсказка

Выпишите условие равновесия моментов относительно оси, проходящей через две вершины плиты (через двух рабочих). Положение центра тяжести треугольника известно из геометрии.

Ответ

На каждого рабочего приходится одинаковая доля веса плиты — \(\dfrac{1}{3}\), то есть \(\dfrac{1}{3}mg\).

Решение

Рассмотрим условие равновесия плиты. Чтобы удержать плиту, рабочие должны действовать на неё вертикальными силами. Силы, действующие на плиту, показаны на рисунке (вид плиты сверху): \(\vec F_1\) — в вершине прямого угла, \(\vec F_2\) — в вершине меньшего острого угла, \(\vec F_3\) — в вершине большего острого угла; сила тяжести приложена к центру тяжести плиты.

Поскольку плита находится в равновесии, сумма сил и сумма моментов сил равны нулю, причём условие моментов выполнено относительно любой оси. Рассмотрим ось, проходящую через короткий катет плиты. Моменты сил \(F_1\) и \(F_3\) относительно этой оси равны нулю, плечо силы \(F_2\) равно длине длинного катета \(AB\). Плечо силы тяжести равно \(OD\), где \(O\) — центр тяжести плиты. Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан, которая делит медиану \(BC\) в отношении \(BC : OC = 3 : 1\). Из подобия треугольников \(ABC\) и \(DOC\) имеем \(\dfrac{AB}{OD} = \dfrac{BC}{OC} = 3\), то есть \(OD = \dfrac{1}{3}AB\).

Условие моментов относительно этой оси даёт \[F_2\cdot AB = mg\cdot\frac{1}{3}AB ,\] откуда \(F_2 = \dfrac{1}{3}mg\). Повторяя рассуждения для осей, проходящих через другие стороны плиты, получаем \(F_1 = F_3 = \dfrac{1}{3}mg\).

Итак, на каждого рабочего приходится одинаковая часть веса плиты, \(\dfrac{1}{3}mg\). Это утверждение сохраняется для плиты в форме любого треугольника, в том числе для прямоугольного с любым соотношением катетов.

Подсказка

Длины дуг, по которым диск и обруч касаются трубы, одинаковы. Учтите, что диск и обруч поворачиваются не только вокруг своих осей, но и вместе с движением центров.

Ответ

\(\omega_{\text{д}} = \dfrac{v}{r}\);  \(\omega_{\text{о}} = \dfrac{(R-2r)\,v}{2r\,(R-r)}\).

Решение

Пусть в некоторый момент диск и обруч занимают самое нижнее положение в трубе. Отметим на диске вертикальный радиус, а также точку обруча, касающуюся в этот момент трубы (точка А). Через малый интервал времени \(\Delta t\) диск прокатится по трубе и повернёт обруч. Точка касания диска, обруча и трубы сместится в новое положение (точка B), и углы поворота тел связаны с углом \(\Delta\varphi\), на который повернулся центр диска.

Из-за отсутствия проскальзывания длины дуг по трубе, диску и обручу равны: \(BA = R\,\Delta\varphi\). Поэтому диск повернётся вокруг своего центра на угол \(\dfrac{R}{r}\Delta\varphi\), а с учётом поворота самого центра диска — на угол \[\Delta\theta_{\text{д}} = \left(\frac{R}{r} - 1\right)\Delta\varphi = \frac{R-r}{r}\,\Delta\varphi ,\] а обруч — на угол \[\Delta\theta_{\text{о}} = \left(\frac{R}{2r} - 1\right)\Delta\varphi = \frac{R-2r}{2r}\,\Delta\varphi .\] Центр диска движется по дуге радиуса \(R - r\) со скоростью \(v\), поэтому \(v\,\Delta t = (R-r)\,\Delta\varphi\), то есть \(\Omega = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \dfrac{v}{R-r}\). Отсюда угловые скорости диска и обруча \[\omega_{\text{д}} = \frac{R-r}{r}\,\Omega = \frac{v}{r}, \qquad \omega_{\text{о}} = \frac{R-2r}{2r}\,\Omega = \frac{(R-2r)\,v}{2r\,(R-r)} .\]

Подсказка

В тепловом равновесии поток тепла через цилиндрическую поверхность радиуса \(x\) равен энерговыделению внутри неё. Градиент температуры найдите по закону Фурье для тонкого слоя и просуммируйте по слоям.

Ответ

\(\Delta T = \dfrac{q_l}{4\pi\lambda} \approx 26\ ^\circ\text{C}\).

Решение

Рассмотрим поток тепла через цилиндрическую поверхность радиуса \(x\) внутри цилиндра из отработанного топлива. В условиях теплового равновесия количество теплоты, проходящее через эту поверхность в единицу времени, равно количеству теплоты, выделяемому внутри цилиндра, ограниченного этой поверхностью. Всего в цилиндре длиной \(l\) выделяется в единицу времени \(Q = q_l l\), а теплота выделяется равномерно по объёму, поэтому внутри цилиндра радиуса \(x\) выделяется \[Q(x) = q_l\, l\,\frac{x^2}{R^2} .\]

С другой стороны, по закону Фурье на тонком цилиндрическом слое толщиной \(\Delta x\) около поверхности радиуса \(x\) должна быть разность температур \(\Delta T\) между внутренней и внешней поверхностями слоя: \[Q(x) = \lambda\,\frac{\Delta T}{\Delta x}\,S = \lambda\,\frac{\Delta T}{\Delta x}\,2\pi x l ,\] откуда \[\Delta T = \frac{q_l}{2\pi\lambda R^2}\, x\,\Delta x .\] Аналогичные формулы можно записать для всех тонких слоёв, на которые мысленно разбит цилиндр. Сложив их, получаем разность температур между центром цилиндра и его поверхностью: \[T_{\text{центр}} - T_{\text{пов}} = \frac{q_l}{2\pi\lambda R^2}\sum_n x_n\,\Delta x_n = \frac{q_l}{2\pi\lambda R^2}\cdot\frac{R^2}{2} = \frac{q_l}{4\pi\lambda} .\] Подставляя \(q_l = 10^3\) Вт/м и \(\lambda = 3\) Вт/(м\(\cdot\)К), находим \(\Delta T \approx 26\ ^\circ\text{C}\). Обратим внимание, что разность температур между осью цилиндра и его поверхностью не зависит от его радиуса.