ИОШ, 2021/22, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Напряжение на лампочке можно считать равным напряжению сети, а ток в проводах выразить через номинальную мощность лампочки. Сравните два случая.

Ответ

\(P = P_2\dfrac{P_3^2}{P_1^2} \approx 27{,}8\) мВт.

Решение

Пусть сопротивление проводов равно \(r\). Поскольку сопротивлением проводов можно пренебречь по сравнению с сопротивлением лампочки, напряжение на лампочке равно напряжению сети \(U\), и в лампочках в обоих случаях выделяется номинальная мощность. Тогда в первом случае ток в цепи \(I_1 = P_1/U\), а мощность в соединительных проводах \[P_2 = I_1^2 r = \frac{P_1^2}{U^2}\,r .\] Аналогично при лампочке мощностью \(P_3\) мощность в проводах \[P = \frac{P_3^2}{U^2}\,r .\] Деля друг на друга две последние формулы, получим \[P = P_2\,\frac{P_3^2}{P_1^2} \approx 27{,}8~\text{мВт}.\]

Подсказка

Запишите горизонтальное и вертикальное равновесие каждого груза; углы нитей с горизонталью найдите по клеточкам рисунка.

Ответ

\(\dfrac{m_1}{m_2} = 3\).

Решение

Пусть сила натяжения участка нити от точки А до груза \(m_1\) равна \(T_1\), между грузами — \(T_2\), от груза \(m_2\) до точки В — \(T_3\). Так как силы натяжения нитей, к которым привязаны грузы, вертикальны, \[T_1\cos\alpha_1 = T_2\cos\alpha_2 = T_3\cos\alpha_3 ,\] где \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) — углы нитей с горизонталью (см. рисунок).

Условия равновесия грузов дают \[m_1 g = T_1\sin\alpha_1 + T_2\sin\alpha_2 = T_1\cos\alpha_1\,(\operatorname{tg}\alpha_1+\operatorname{tg}\alpha_2),\] \[m_2 g = T_3\sin\alpha_3 - T_2\sin\alpha_2 = T_1\cos\alpha_1\,(\operatorname{tg}\alpha_3-\operatorname{tg}\alpha_2).\] Отсюда \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{\operatorname{tg}\alpha_1+\operatorname{tg}\alpha_2}{\operatorname{tg}\alpha_3-\operatorname{tg}\alpha_2}.\] По клеточкам рисунка \(\operatorname{tg}\alpha_1 = \frac{5}{3}\), \(\operatorname{tg}\alpha_2 = \frac{1}{3}\), \(\operatorname{tg}\alpha_3 = \frac{3}{3}\), поэтому \(m_1/m_2 = 3\).

Подсказка

Рассмотрите моменты сил относительно точки касания цилиндра с плоскостью: момент силы тяжести цилиндра и момент силы натяжения нити.

Ответ

\(\sin\alpha \le \dfrac{m}{M+m}\), то есть \(\alpha \le \arcsin\dfrac{m}{M+m}\). Радиус цилиндра на ответ не влияет.

Решение

Цилиндр будет подниматься вверх, если момент силы натяжения нити \(T = mg\) относительно точки касания цилиндра с плоскостью не меньше момента силы тяжести цилиндра \(Mg\) относительно той же точки (см. рисунок).

Плечо силы тяжести равно \(R\sin\alpha\), плечо силы натяжения равно \(R - R\sin\alpha\), поэтому условие движения вверх \[MgR\sin\alpha \le mg\,(R - R\sin\alpha).\] Отсюда \[\sin\alpha \le \frac{m}{M+m}, \qquad\text{или}\qquad \alpha \le \arcsin\frac{m}{M+m}.\] (Эквивалентно: при подъеме уменьшение потенциальной энергии тела при опускании должно быть не меньше увеличения потенциальной энергии цилиндра.) Радиус цилиндра в ответ не входит.

Подсказка

Разбейте стержень на тонкие слои, запишите тепловой баланс и учтите, что масса единицы длины толстого стержня вдвое больше, чем тонкого.

Ответ

\(T_x = \dfrac{165}{104}\,T \approx 1{,}58\,T\).

Решение

Мысленно разобьём стержень на бесконечно тонкие слои массами \(\Delta m_1\), \(\Delta m_2\), …, каждый из которых имеет одинаковую температуру. Тепловой баланс для стержня дает \[c\,\Delta m_1(T_x - T_1) + c\,\Delta m_2(T_x - T_2) + \ldots = 0,\] где \(T_x\) — установившаяся температура, \(T_1, T_2, \ldots\) — температуры слоев. Масса слоя пропорциональна его длине, \(\Delta m_i = \lambda\,\Delta x_i\), где \(\lambda\) — масса единицы длины тонкого стержня (для толстого она вдвое больше). Поэтому \[m\,T_x = \lambda\left(\Delta x_1T_1+\Delta x_2T_2+\ldots\right) + 4\lambda\left(\Delta x_1'T_1'+\Delta x_2'T_2'+\ldots\right),\] где первая сумма относится к тонкому стержню, вторая — к толстому. Эти суммы равны площадям под графиками зависимости температуры от длины стержня. Для тонкого стержня (длиной \(l\)) температура изменяется от \(T\) до \(\frac{5}{4}T\), для толстого (длиной \(3l\)) — от \(\frac{5}{4}T\) до \(2T\) (см. рисунок).

Площади дают \[\lambda\cdot\frac{9}{8}Tl + 4\lambda\cdot\frac{13}{8}T\cdot 3l = \frac{165}{8}\lambda Tl ,\] а полная масса \(m = \lambda l + 4\lambda\cdot 3l = 13\lambda l\). Отсюда \[T_x = \frac{165}{104}\,T \approx 1{,}58\,T .\] Тот же результат получается из того, что для линейного распределения температуры однородного стержня установившаяся температура равна полусумме температур концов: \(T_{\text{тонк}} = \frac{9}{8}T\), \(T_{\text{толст}} = \frac{13}{8}T\), а масса тонкого стержня в 12 раз меньше толстого, поэтому \(T_x = \dfrac{\frac{9}{8}T + 12\cdot\frac{13}{8}T}{13} = \dfrac{165}{104}T\).

Подсказка

Условие равновесия по силам даёт массу груза, условие равновесия по моментам относительно центра плота — связь угла наклона с \(h/a\). Сила Архимеда приложена к центру тяжести погруженной части плота.

Ответ

1) \(\dfrac{h}{a} = \sqrt{\dfrac{3\rho-\rho_0}{2\rho_0-3\rho}}\);  2) нет, только при \(\dfrac{\rho_0}{3} < \rho < \dfrac{\rho_0}{2}\).

Решение

В равновесии сумма сил и сумма моментов сил, действующих на плот (сила тяжести \(Mg = \rho g V\), сила Архимеда \(\rho_0 g V_{\text{п.ч.}}\) и сила со стороны груза \(mg\)), равны нулю. Плот погружен ровно на половину объема, поэтому первое условие равновесия дает \[\rho g V + m g = \rho_0 g\,\frac{V}{2} \quad\Rightarrow\quad m = \frac{(\rho_0 - 2\rho)\,gV}{2}.\] Условие моментов относительно центра плота: момент силы тяжести равен нулю, момент силы со стороны груза \(mgx\) (\(x\) — расстояние от центра плота до края), а точка приложения силы Архимеда — центр тяжести погруженной треугольной части, лежащий на расстоянии \(x/3\) от центра плота, с плечом \(\frac{1}{3}x\cos 2\varphi\). Поэтому \[m = \frac{\rho_0 V}{6}\cos 2\varphi = \frac{\rho_0 V}{6}\left(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi\right).\] Приравнивая два выражения для \(m\), с учетом \(\sin\varphi = \dfrac{h^2}{a^2+h^2}\), \(\cos\varphi = \dfrac{a^2}{a^2+h^2}\) и \(z = h^2/a^2\), получаем \[\frac{1-z}{1+z} = \frac{3(\rho_0-2\rho)}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \frac{h}{a} = \sqrt{\frac{3\rho-\rho_0}{2\rho_0-3\rho}} .\] Так как \(\rho < \rho_0/2\) (без груза плот погружен менее чем наполовину), знаменатель положителен; положительность числителя дает \(\rho > \rho_0/3\). Поэтому плот можно расположить так, как показано на рисунке, только при \(\dfrac{\rho_0}{3} < \rho < \dfrac{\rho_0}{2}\).

Подсказка

Условия моментов для кривошипа и для шатуна относительно их концов дают направление силы в шарнире A. Затем из равновесия шатуна найдите силу трения в точке B.

Ответ

\(\mu \ge \dfrac{\sin 2\alpha}{2+\cos 2\alpha} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58\).

Решение

Сила, с которой кривошип действует на шатун в шарнире A, направлена под неизвестным углом \(\gamma\) к кривошипу (см. рисунок); сила со стороны шатуна на кривошип направлена противоположно.

Условия равновесия кривошипа и шатуна (моменты относительно точек O и B) дают \[mg\,\frac{OA}{2}\cos\alpha = N\,OA\sin\gamma, \qquad mg\,\frac{AB}{2}\cos(90^\circ-\alpha) = N\,AB\sin(90^\circ-\gamma).\] Деля первое уравнение на второе, получаем \(\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}\gamma\), то есть \(\gamma = 90^\circ-\alpha\), и \(N = \dfrac{1}{2}mg\).

Из равновесия шатуна \(AB\) по вертикали и горизонтали: \[N_1 = mg - N\sin(\alpha-\gamma), \qquad F_{\text{тр}} = N\cos(\alpha-\gamma).\] Отсутствие скольжения: \(F_{\text{тр}} \le \mu N_1\), откуда \[\mu \ge \frac{\cos(\alpha-\gamma)}{2-\sin(\alpha-\gamma)} = \frac{\sin 2\alpha}{2+\cos 2\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58 \quad (\alpha = 60^\circ).\]