ИОШ, 2022/23, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Запишите среднюю плотность жидкости двумя способами: через массу и объём и через массы воды и нефти с их плотностями.

Ответ

\(m_н = 1100\) кг.

Решение

Из данных условия находим среднюю плотность загрязнённой жидкости \[\rho_{ср} = \frac{m}{V}.\] С другой стороны, среднюю плотность смеси можно найти через плотности компонент: \[\rho_{ср} = \frac{m}{\dfrac{m_в}{\rho_0} + \dfrac{m_н}{\rho}},\] где \(m_в\) и \(m_н\) — массы воды и нефти в смеси. Поскольку \(m = m_в + m_н\), эту формулу можно продолжить так: \[\rho_{ср} = \frac{m}{\dfrac{m - m_н}{\rho_0} + \dfrac{m_н}{\rho}}.\] Поэтому \[\frac{m - m_н}{\rho_0} + \frac{m_н}{\rho} = V.\] Отсюда находим \[m_н = \frac{(V\rho_0 - m)\,\rho}{\rho_0 - \rho} = 1100\ \text{кг}.\]

Подсказка

Устойчивому положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии системы «тело – вода». Сравните, как высоко над уровнем воды поднимается центр тяжести вытесненной воды в каждом положении.

Ответ

Устойчиво положение б); положение а) неустойчиво (с обоснованием по решению).

Решение

Оба положения модели корабля, данные в условии, являются положениями равновесия – это значит, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на модель, равна нулю. Поэтому в этом положении потенциальная энергия модели в поле силы тяжести достигает или максимума, или минимума среди всех соседних положений. Однако в положении устойчивого равновесия этот экстремум потенциальной энергии должен быть минимумом. Найдём, какое из двух положений, данных в условии, отвечает минимуму потенциальной энергии.

Потенциальная энергия плавающего тела складывается из потенциальной энергии самого тела и потенциальной энергии воды, которая поднимается благодаря её вытеснению телом. Потенциальная энергия тела в обоих случаях одинакова, поскольку его центр тяжести находится на уровне воды. Потенциальную энергию вытесненной воды можно посчитать так. До вытеснения – это потенциальная энергия воды в объёме погружённой в воду части тела, после вытеснения – это потенциальная энергия этой воды на поверхности воды в сосуде. Поэтому потенциальная энергия воды в объёме погружённой в воду части тела равна (относительно уровня воды в сосуде) \[\Pi = mgh,\] где \(m\) – масса вытесненной воды, \(g\) – ускорение свободного падения, \(h\) – расстояние от центра тяжести вытесненной воды до поверхности воды в сосуде. Масса вытесненной воды одинакова и для первой, и для второй модели, а вот расстояние от поверхности до центра тяжести – разное. В первом случае (случай а) оно равно \(h_а = a/4 = 0{,}25\,a\) (где \(a\) – ребро поперечного сечения модели), во втором случае (случай б) – \(h_б = \sqrt{2}\,a/6 = 0{,}236\,a\) (эта формула связана с тем, что сечение погружённой части модели – треугольник, а его центр тяжести находится в точке пересечения медиан). Поскольку \(h_б < h_а\), потенциальная энергия плавающего тела в случае а) больше, чем в случае б). А поскольку «между ними» нет других положений равновесия, потенциальная энергия плавающего тела в положении а) достигает максимума, в положении б) – минимума. Поэтому положение а) – неустойчивое, положение б) – устойчивое равновесие.

Подсказка

Вертолёт перестаёт отбрасывать тень, когда его угловой размер становится равным угловому размеру Солнца. Выразите размер вертолёта через высоту и этот угол.

Ответ

\(d = \dfrac{\pi}{180}\,\Delta\alpha\,h \approx 9\) м.

Решение

Будем для оценки считать, что вертолёт имеет форму шара. Очевидно, вертолёт перестаёт отбрасывать тень на землю, когда его угловой размер становится равным угловому размеру Солнца (см. рисунок). В этом положении тень от вертолёта становится точкой. При большей высоте подъёма лучи, идущие от разных точек солнечного диска, будут освещать всю землю под вертолётом, и вертолёт не будет отбрасывать тень. Поэтому \[\frac{d}{h} = \Delta\alpha \quad\Rightarrow\quad d = h\,\Delta\alpha,\] где \(d\) – размер вертолёта, причём угол должен быть задан в радианах. Для угла, заданного в градусах, имеем для размера вертолёта \[d = \frac{\pi}{180}\,\Delta\alpha\,h \approx 9~\text{м}.\]

Подсказка

Сравните тормозной путь детали с расстоянием между соседними деталями. Тормозной путь найдите из закона сохранения энергии.

Ответ

\(N = 12\) деталей.

Решение

Сразу после остановки ленты детали имеют скорость \(v = 2\) м/с относительно ленты и будут останавливаться благодаря трению. В ящик свалятся те детали, тормозной путь которых больше, чем расстояние от них до ящика в момент остановки транспортёра. Тормозной путь \(S\) тела, движущегося по шероховатой горизонтальной поверхности, можно найти из закона сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = \mu m g S,\] где \(m\) – масса тела, \(v\) – его начальная скорость, \(\mu\) – коэффициент трения между телом и поверхностью. Отсюда находим \[S = \frac{v^2}{2\mu g}.\] Поэтому в ящик свалятся \[N = \left[\frac{S}{d}\right] = \left[\frac{v^2}{2\mu g d}\right] = 12~\text{деталей},\] где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Подсказка

Работа насоса идёт на преодоление давления воды на глубине и на сообщение воде кинетической энергии. Выразите скорость истечения через объём, время и сечение трубы.

Ответ

\(N \approx 206\) кВт.

Решение

Чтобы удалить балласт (воду) из балластного резервуара, насос должен совершить работу против сил гидростатического давления и сообщить кинетическую энергию удаляемой воде, причём эта энергия может оказаться значительной, поскольку воду нужно удалять за достаточно короткое время. Поэтому работу насоса можно записать как \[A = pV + \frac{mv^2}{2},\] где \(p\) – давление жидкости на глубине \(h\) (\(p = p_0 + \rho g h\)), \(V\) – объём резервуара, \(m\) – масса воды в резервуаре (\(m = \rho V\)), \(v\) – её скорость (\(v = \dfrac{V}{tS}\), \(S\) – сечение трубы). Поэтому работа насоса равна \[A = \left(p_0 + \rho g h\right)V + \frac{\rho V^3}{2t^2S^2}.\] Отсюда находим мощность \(N\), развиваемую насосом: \[N = \frac{A}{t} = \frac{\left(p_0 + \rho g h\right)V}{t} + \frac{\rho V^3}{2t^3S^2} \approx 206~\text{кВт}.\] Вклад второго слагаемого составляет около \(10\%\).

Подсказка

Сначала покажите, что стержень 6 не нагружен, используя симметрию конструкции. Затем рассмотрите равновесие крайнего шарнира.

Ответ

1) стержни 1, 2, 4, 5, 8, 9 сжаты, \(F_1 = F_2 = F_4 = F_5 = F_8 = F_9 = \dfrac{F}{\sqrt{2}}\); 2) стержни 3 и 7 растянуты, \(F_3 = F_7 = F\); 3) стержень 6 не нагружен, \(F_6 = 0\).

Решение

Докажем, что сила натяжения стержня 6 равна нулю. Действительно, пусть эта сила не равна нулю. Тогда условия равновесия узлов I и II (см. рисунок) дают \[\vec F_1 + \vec F_4 + \vec F_3 + \vec F_6 = 0 \quad\text{для узла I}, \qquad \vec F_2 + \vec F_3 + \vec F_5 = 0 \quad\text{для узла II}.\] На рисунке приняты определённые направления сил натяжения стержней; доказательство равенства нулю силы натяжения стержня 6 от этих направлений не зависит. Благодаря симметрии конструкции относительно «право–лево» силы натяжения стержней 4 и 5 одинаковы. Поэтому условия равновесия узлов I и II в проекциях на оси, перпендикулярные стержням 1 и 2 соответственно, будут одинаковы, за исключением силы натяжения стержня 6, которая, таким образом, должна быть равна нулю: \(F_6 = 0\).

Это значит, что стержень 6 можно удалить из конструкции, а для неё справедливо и условие симметрии «верх–низ». То есть \[F_1 = F_2 = F_8 = F_9; \qquad F_4 = F_5; \qquad F_3 = F_7.\] Теперь из условия равновесия самого левого узла (см. рисунок) заключаем, что стержни 1 и 2 (и, следовательно, 8 и 9) будут сжаты, а силы их натяжения равны \[F_1 = F_2 = F_8 = F_9 = \frac{F}{2\cos 45^\circ} = \frac{F}{\sqrt{2}}.\]

Поэтому из условия равновесия верхних или нижних узлов заключаем, что стержни 4 и 5 тоже будут сжаты, а стержни 3 и 7 растянуты. Из условия равновесия узла II в проекциях на горизонтальную ось получаем \(F_2 = F_5\), следовательно, \(F_4 = F_5 = \dfrac{F}{\sqrt{2}}\). А из условия равновесия в проекциях на вертикальную ось \(F_3 = 2F_2\cos 45^\circ\) находим \[F_3 = F_7 = F.\] Итак: стержни 1, 2, 4, 5, 8, 9 – сжаты, \(F_1 = F_2 = F_4 = F_5 = F_8 = F_9 = \dfrac{F}{\sqrt{2}}\); стержни 3 и 7 – растянуты, \(F_3 = F_7 = F\); стержень 6 не нагружен, \(F_6 = 0\).