ИОШ, 2024/25, отборочный этап, 11 класс

Закон Ома для участка с ЭДС свяжите с напряжением \(U_{BA}\) на каждом из трёх участков, а токи в вершине \(B\) — условием сумм токов.

\(I_1 = \dfrac{2\varepsilon}{11r}\) (от \(A\) к \(B\)); \(I_2 = -\dfrac{7\varepsilon}{11r}\), т.е. \(\dfrac{7\varepsilon}{11r}\) от \(B\) к \(A\); \(I_3 = \dfrac{5\varepsilon}{11r}\) (от \(A\) к \(B\)).

Пусть по трём участкам цепи \(A1B\), \(A2B\) и \(A3B\) от \(A\) к \(B\) текут электрические токи \(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\) соответственно (если какой-то из токов получится отрицательным, это будет означать, что ток течёт в противоположном направлении). Для электрического напряжения между точками \(B\) и \(A\), используя закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС: \[\text{для участка } A1B:\ U = 2\varepsilon - I_1\,2r, \qquad \text{для участка } A2B:\ U = \varepsilon - I_2 r, \qquad \text{для участка } A3B:\ U = 3\varepsilon - I_3\,3r.\] И для трёх токов, втекающих в вершину \(B\): \(I_1 + I_2 + I_3 = 0\). Эти равенства сводятся к системе уравнений: \[\begin{cases} \varepsilon = I_1\,2r - I_2 r,\\ \varepsilon = I_3\,3r - I_1\,2r,\\ I_1 + I_2 + I_3 = 0. \end{cases}\] Решая эту систему уравнений, найдём \[I_1 = \frac{2\varepsilon}{11r}, \qquad I_2 = -\frac{7\varepsilon}{11r}, \qquad I_3 = \frac{5\varepsilon}{11r}.\] Таким образом, по участкам 1 и 3 ток течёт от \(A\) к \(B\), а по участку 2 — от \(B\) к \(A\).

Выпаривается только вода, поэтому масса соли в порции не меняется. Выразите новую массу порции через её исходную массу и запишите концентрацию после возвращения раствора в стакан.

\(C = 0{,}5\).

Пусть масса раствора в стакане \(m\), исходное процентное содержание соли — \(C\). Из стакана взяли \(m/3\) раствора и увеличили концентрацию соли в нём вдвое. А поскольку выпаривалась только вода, для удвоения концентрации этой порции раствора нужно сделать её общую массу вдвое меньшей. Поэтому новая общая масса раствора после выпаривания стала равна \[m_1 = \frac{1}{3}m\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}m = \frac{5}{6}m.\] При этом масса соли в растворе не изменилась. Как она была до выпаривания равна \(Cm\), так и осталась после. Поэтому новая концентрация соли в стакане равна \[C + 0{,}1 = \frac{Cm}{\dfrac{5m}{6}} = \frac{6C}{5}.\] Решая это уравнение, найдём \(C = 0{,}5\).

При затормаженном роторе механическая работа не совершается, и по закону Ома для замкнутой цепи найдите полное сопротивление \(R\). Затем запишите баланс мощностей при вращении ротора.

\(P_{мех} = \dfrac{\varepsilon I_1 (I - I_1)}{I} = 14{,}4\) Вт.

Если механическая работа не совершается (в случае затормаживания якоря), то из закона Ома для замкнутой цепи имеем \(I = \dfrac{\varepsilon}{R}\), где \(R\) — полное сопротивление цепи. Отсюда \(R = \dfrac{\varepsilon}{I}\).

В случае работающего электромотора работа источника \(\varepsilon I_1\) (в единицу времени) тратится на нагревание проводов и механическую работу. Поэтому \[\varepsilon I_1 = I_1^2 R + P_{мех},\] где \(P_{мех}\) — механическая мощность электромотора. Отсюда получаем \[P_{мех} = \frac{\varepsilon I_1\left(I - I_1\right)}{I} = 14{,}4~\text{Вт}.\]

Силы реакции гладкой сферы направлены по радиусам, поэтому момент силы тяжести системы относительно центра сферы равен нулю. Где тогда должен лежать центр тяжести системы?

\(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{9}\), т.е. \(\alpha \approx 10{,}9^\circ\); \(\cos\alpha = \dfrac{9\sqrt{21}}{42}\), \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{7}}{14}\).

Рассмотрим условие равновесия системы, состоящей из двух шариков и стержня. Сумма внешних сил, действующих на систему, и их моментов равна нулю относительно любой оси. Внешними для системы являются сила тяжести \(3mg\), приложенная к её центру тяжести, и две силы реакции, действующие на шарики перпендикулярно поверхности сферы, поскольку трения нет. А поскольку силы реакции действуют по прямым, проходящим через центр сферы, то из условия равенства нулю суммы моментов относительно центра сферы следует, что момент силы тяжести, действующей на систему, относительно центра сферы равен нулю. Это значит, что центр тяжести системы находится под центром сферы. А поскольку центр тяжести находится ближе к более массивному телу, то оно находится ближе к вертикальной прямой, проходящей через центр сферы. Поэтому тело с массой \(2m\) находится ниже, тело с массой \(m\) — выше (см. рисунок), а центр тяжести системы находится на одной вертикали с центром сферы.

Так как центр тяжести системы тел делит стержень в отношении \(2:1\), и длина стержня равна радиусу сферы, то \[AC = \frac{2}{3}R, \qquad CD = \frac{1}{3}R.\] Поскольку треугольник \(OAD\) равносторонний, то перпендикуляр, опущенный из его вершины \(O\) на противоположную сторону, делит её пополам, и потому \[BC = \frac{R}{2} - BD = \frac{R}{6},\] и \(\angle BOC = \angle ADE\) (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), т.е. \(\angle BOC = \alpha\). Поэтому из треугольника \(OBC\) находим \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{BC}{OB} = \frac{R/6}{\sqrt{3}R/2} = \frac{\sqrt{3}}{9}, \qquad \alpha = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{9} = 10{,}9^\circ.\] Другие тригонометрические функции угла \(\alpha\): \[\cos\alpha = \frac{9}{2\sqrt{21}} = \frac{9\sqrt{21}}{42}, \qquad \sin\alpha = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}.\]

В равновесии поток тепла от горячей воды в полость равен потоку из полости в холодную воду. Для каждой перегородки закон Фурье дает поток через её толщину; коэффициент \(\lambda\) найдите по данным о тонкой перегородке.

\(t_x \approx 33{,}3^\circ\)C; мощность \(P \approx 0{,}23\) Вт.

В тепловом равновесии внутри полости установится такая температура \(t_x\), что поток тепла в полость от более горячей воды и поток тепла из полости в более холодную воду будут одинаковы. Потоки тепла находим по закону Фурье: \[\text{от горячей воды к полости: } q = \lambda\frac{\left(t_1 - t_x\right)S}{2\Delta x}, \qquad \text{от полости к холодной воде: } q = \lambda\frac{\left(t_x - t_2\right)S}{\Delta x},\] где \(S\) — площадь сечения трубы, \(\lambda\) — теплопроводность пенопласта, \(\Delta x\) и \(2\Delta x\) — толщины тонкой и толстой перегородок. Приравнивая эти два потока, получим \[t_1 - t_x = 2\left(t_x - t_2\right),\] откуда находим \[t_x = \frac{1}{3}\left(t_1 + 2t_2\right) = 33{,}3^\circ\text{C}.\] Чтобы такое равновесие поддерживать, в горячей воде нужно в единицу времени выделять такое количество теплоты, которое передаётся в полость (а из холодной воды это количество нужно удалять). Т.е. мощность тепловыделения равна \[P = \lambda\frac{\left(t_1 - t_x\right)S}{2\Delta x}.\] С другой стороны, условие задачи даёт информацию о коэффициенте теплопроводности, площади сечения и толщине перегородок. Если бы разность температур слева и справа от тонкой перегородки составляла \(\Delta t = 1^\circ\)C, то поток тепла равнялся бы \(q\). Поэтому из закона Фурье имеем \(q = \lambda\dfrac{\Delta t\,S}{\Delta x}\). Отсюда \[\lambda\frac{S}{\Delta x} = \frac{q}{\Delta t}.\] Подставляя эту формулу в мощность тепловыделения в горячей воде, получим \[P = q\,\frac{t_1 - t_2}{3\,\Delta t} = 0{,}23~\text{Вт}.\]

Скорость точки кривошипа, попавшей в втулку, направлена вдоль кулисы, поэтому её проекция на кулису равна скорости точки кулисы. Ускорение раскладывается на составляющие вдоль скорости и перпендикулярно ей; дифференцируйте скорость по времени, учитывая поворот кулисы.

\(a = \dfrac{\omega^2 l}{2} = 0{,}5\) м/с\(^2\); вектор ускорения направлен под углом \(\beta = 30^\circ\) к кулисе (\(\operatorname{tg}\beta = \operatorname{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\)).

Поскольку точка \(A\) принадлежит кривошипу, её скорость в любой момент направлена перпендикулярно кривошипу (см. рисунок) и равна по величине \(v = \omega l\), а угол между этим вектором и стержнем в тот момент времени, когда угол между кривошипом и горизонтом равен \(\alpha\), равен \(\alpha/2\). Точка кривошипа, которая находится внутри втулки, может двигаться только вдоль втулки, т.е. вдоль стержня. Из условия нерастяжимости стержня (проекции скоростей всех его точек на сам стержень должны быть равны) получаем для скорости \(v_1\) точки стержня, которая находится внутри втулки, \[v_1 = v\cos\frac{\alpha}{2} = \omega l\cos\frac{\alpha}{2}.\]

С изменением угла поворота кривошипа \(OA\) величина этой скорости меняется, что приводит к появлению составляющей ускорения, параллельной скорости, \(a_\tau\). Величину этой составляющей найдём, дифференцируя \(v_1\) по времени: \[a_\tau = \frac{dv_1}{dt} = \frac{1}{2}\omega^2 l\sin\frac{\alpha}{2}.\] Кроме того, из-за поворота кулисы \(AC\) скорость точки кулисы, находящейся внутри втулки, меняется по направлению, что приводит к появлению составляющей ускорения, перпендикулярной скорости, \(a_n\). Чтобы найти величину этой составляющей, заметим, что угол между кулисой и горизонтальной прямой, проходящей через втулку, составляет \(90^\circ - \alpha/2\), и потому при повороте кривошипа за малое время \(\Delta t\) на угол \(\Delta\alpha\) изменяется на угол \(\Delta\alpha/2\). Поэтому изменение скорости, перпендикулярное самой скорости, в тот момент времени, когда угол между кривошипом и горизонталью равен \(\alpha\), за малое время \(\Delta t\) есть \[\Delta v_n = v_1\frac{\Delta\alpha}{2} = \frac{1}{2}\omega l\cos\frac{\alpha}{2}\,\Delta\alpha.\] Деля это выражение на \(\Delta t\) и учитывая, что \(\Delta\alpha/\Delta t = \omega\), найдём \[a_n = \frac{1}{2}\omega^2 l\cos\frac{\alpha}{2}.\] Из этих формул следует, что модуль вектора ускорения рассматриваемой точки кулисы не зависит от угла наклона кулисы, поскольку \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \frac{1}{2}\omega^2 l.\] А направлен вектор ускорения этой точки под таким углом \(\beta\) к кулисе, что \[\operatorname{tg}\beta = \frac{a_n}{a_\tau} = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}.\] При \(\omega = 1\) с\(^{-1}\), \(l = 1\) м получаем \(a = 0{,}5\) м/с\(^2\); при \(\alpha = 120^\circ\) угол \(\beta = 30^\circ\).