ИОШ, 2025/26, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Работа против сил сопротивления материала одна и та же в обоих случаях. Разница в том, что незакреплённая дощечка уносит часть кинетической энергии пули. Эту часть найдите из закона сохранения импульса при совместном движении пули и дощечки.

Ответ

\(\dfrac{m}{M} = n^2 - 1 = 0{,}21\).

Решение

Для пробивания закреплённой дощечки пуля должна иметь некоторую минимальную скорость, чтобы совершить работу против сил сопротивления материала дощечки. Когда пуля попадает в незакреплённую дощечку, часть её энергии тратится на кинетическую энергию, которую приобретает дощечка. Поэтому скорость пули, необходимая для пробивания незакреплённой дощечки, должна быть больше. Эту разницу найдём с помощью закона сохранения импульса.

Для закреплённой дощечки закон сохранения энергии даёт \[\frac{mv_0^2}{2} = -A ,\] где \(m\) — масса пули, \(A\) — работа сил сопротивления. Эта работа, совершённая при пробивании дощечки, не зависит от того, закреплена дощечка или нет.

Минимальной скорости пробивания незакреплённой дощечки отвечает ситуация, когда скорости дощечки и пули после пробития равны (пуля практически не перемещается относительно дощечки). Тогда законы сохранения импульса и энергии дают \[mnv_0 = (m+M)v_1 , \qquad \frac{mn^2v_0^2}{2} - \frac{(m+M)v_1^2}{2} = -A ,\] где \(n = 1{,}1\), \(M\) — масса дощечки, \(v_1\) — скорость дощечки и пули после пробивания незакреплённой дощечки.

Выражая \(v_1\) из первого уравнения и подставляя во второе с учётом (*), получим \[n^2 - \frac{n^2 m}{M+m} = 1 .\] Отсюда \[(n^2 - 1)M = m , \qquad \frac{m}{M} = n^2 - 1 = 0{,}21 .\]

Подсказка

Огонь должен дойти до самой удалённой от краёв точки. Для треугольника такая точка — центр вписанной окружности, и радиус этой окружности выражается через катеты и гипотенузу.

Ответ

\(t_1 = \left(3-\sqrt{5}\right)t\).

Решение

Чтобы вся пластина была охвачена огнём, огонь должен дойти от сторон до самых удалённых от сторон точек. Для прямоугольника со сторонами \(a\) и \(2a\) это точки, лежащие посередине пластины на расстоянии \(a/2\) от сторон (на рисунке они выделены жирной линией). Огонь проходит расстояние \(a/2\) за время \(t\), поэтому скорость распространения огня \[v = \frac{a}{2t} .\]

Для треугольной пластины, подожжённой со всех сторон, полная охваченность наступает, когда огонь дойдёт до центра вписанной окружности, то есть до точки, максимально удалённой от сторон. Время \[t_1 = \frac{r}{v} = \frac{2rt}{a} ,\] где \(r\) — радиус вписанной окружности. Касательные из вершин острых углов к вписанной окружности дают для гипотенузы \(c = \sqrt{5}\,a\) соотношение \(c = (a-r) + (2a-r)\), откуда \[r = \frac{3a-c}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\,a .\]

Следовательно, \[t_1 = \left(3-\sqrt{5}\right)t .\]

Подсказка

Конечное состояние не может быть смесью воды и льда при \(0\,^\circ\)C, поскольку тогда \(t_x\) не зависела бы от \(t_1\). Проверьте оба случая: лёд или вода в конце.

Ответ

\(c_л = 2100\text{ Дж/(кг·град)}\).

Решение

Поскольку при небольших изменениях температуры \(t_1\) температура \(t_x\) меняется, в конечном состоянии не может находиться смесь воды и льда при \(0\,^\circ\)C (иначе температура конечного состояния не менялась бы). Исследуем два случая.

1. В конечном состоянии лёд. Тогда коэффициент при \(t_1\) в формуле для \(t_x\) равен \[\frac{m_1}{m_1+m_2} = \frac{0{,}1}{0{,}1+0{,}2} = \frac{1}{3} \neq 0{,}167 ,\] что не соответствует условию. Этот случай не реализуется.

2. В конечном состоянии вода. Горячая вода охлаждается до \(t_x\), лёд нагревается до \(0\,^\circ\)C, плавится и нагревается как вода до \(t_x\). Уравнение теплового баланса: \[c_в m_2 (t_в - t_x) = c_л m_1 (0\,^\circ\text{C} - t_1) + \lambda m_1 + c_в m_1 (t_x - 0\,^\circ\text{C}) .\] Отсюда \[t_x = \frac{c_в m_2 t_в + \lambda m_1}{m_1+m_2} + \frac{c_л m_1}{c_в (m_1+m_2)}\, t_1 .\] Эта формула не противоречит условию \(t_x = (40 + 0{,}167\,t_1)\,^\circ\text{C}\). Следовательно, \[\frac{c_л m_1}{c_в (m_1+m_2)} = 0{,}167 ,\] откуда \[c_л = 0{,}167\,\frac{m_1+m_2}{m_1}\,c_в = 2100\text{ Дж/(кг·град)} .\]

Подсказка

Давление воды на уровне отверстия складывается из атмосферного давления и гидростатического давления столба воды от нижнего конца трубки. Что происходит с давлением воздуха внутри трубки?

Ответ

1) пока нижний конец трубки в воде, \(v = \sqrt{2gH_2}\) и от уровня воды не зависит;  2) когда уровень воды ниже нижнего конца трубки, \(v = \sqrt{2gh}\).

Решение

Скорость вытекания из обычного сосуда зависит от гидростатического давления, которое растёт с высотой столба воды. Если бы давление у отверстия не менялось, скорость не менялась бы (это строго следует из закона Бернулли).

В сосуде Мариотта в трубке до самого её нижнего конца находится атмосферный воздух, поэтому давление воздуха в трубке равно атмосферному. Значит, давление в воде на уровне нижнего конца трубки равно атмосферному независимо от высоты уровня воды над ним. Тогда давление воды на уровне отверстия равно \[p_a + \rho g H_2 ,\] где \(H_2\) — расстояние от нижнего конца трубки до отверстия. Оно не зависит от уровня воды, и вода вытекает с постоянной скоростью \[v = \sqrt{2gH_2} ,\] пока нижний конец трубки находится в воде.

Когда уровень воды опускается ниже нижнего конца трубки, внутрь сосуда поступает воздух, и сосуд становится обычным сосудом с открытой поверхностью. Тогда \[v = \sqrt{2gh} ,\] где \(h\) — высота уровня воды над отверстием. Итак, \[v = \begin{cases} \sqrt{2gH_2}, & \text{если нижний конец трубки в воде}, \\ \sqrt{2gh}, & \text{если уровень воды ниже нижнего конца трубки}. \end{cases}\]

Подсказка

Если бы вольтметр был идеальным, он показывал бы треть напряжения источника. Найдите его внутреннее сопротивление по показанию \(U_0\), а затем замените его на параллельное соединение десяти таких вольтметров.

Ответ

\(U_1 = \dfrac{UU_0}{10U-27U_0} = 8{,}36\text{ В}\).

Решение

Вольтметр неидеален, так как при идеальности его показания составили бы треть напряжения источника, а они меньше. Пусть сопротивление вольтметра равно \(r\). Сопротивление участка с резистором \(R\) и вольтметром равно \(\dfrac{rR}{r+R}\), и показание вольтметра \[U_0 = \frac{U\,\dfrac{rR}{r+R}}{\dfrac{rR}{r+R} + 2R} .\] Отсюда сопротивление вольтметра \[r = \frac{2U_0 R}{U - 3U_0} .\] Для десяти одинаковых вольтметров, включённых параллельно, сопротивление равно \(r/10\), и показание каждого из них \[U_1 = \frac{U\,\dfrac{(r/10)R}{(r/10)+R}}{\dfrac{(r/10)R}{(r/10)+R} + 2R} = \frac{2UU_0}{20U-54U_0} = \frac{UU_0}{10U-27U_0} = 8{,}36\text{ В} .\]

Подсказка

Внешних горизонтальных сил нет, значит, центр масс системы неподвижен. Найдите положения шарнира относительно центра масс в крайних точках колебаний.

Ответ

\(\Delta x = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{4}{10}\right) l \approx 0{,}033\,l\).

Решение

Поскольку угол между стержнями равен \(60^\circ\), пружина длиной \(l\) соединяет концы стержней, и в начальный момент она сжата на \(\Delta l = 0{,}1\,l\). После отпускания пружина разжимается, проходит недеформированное положение, растягивается, и возникают колебания между сжатием и растяжением на одну и ту же величину \(0{,}1\,l\). В момент максимального растяжения длина пружины равна \(1{,}2\,l\).

Внешних сил на систему нет, поэтому центр масс не может двигаться. Он находится посередине между шарниром и пружиной. В начальном положении шарнир находится от центра масс на расстоянии \[\Delta x_1 = \frac{l}{2}\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}\,l}{4} .\] В конечном положении, когда длина пружины равна \(1{,}2\,l\), расстояние от шарнира до центра масс равно \[\Delta x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{l^2 - \left(\frac{6l}{10}\right)^2} = \frac{4l}{10} .\] Следовательно, смещение шарнира в процессе колебаний равно \[\Delta x = \Delta x_1 - \Delta x_2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{4}{10}\right) l \approx 0{,}033\,l .\]