зад 1 Длина следа карандаша
Оцените максимальную длину следа, который твердый «простой» карандаш может оставить на бумаге, если известно, что грифель является цилиндром радиусом \(1\) мм и высотой \(20\) см, а толщина следа постоянна и равна \(6\) нм.
Примечание: объём \(V\) цилиндра рассчитывается по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус цилиндра, \(h\) — его высота, \(\pi \approx 3{,}14\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните объём грифеля, стёртого в след, с объёмом самого следа. Из чего складывается объём следа?
▶ОтветСкрыть
\(L \approx 52{,}3\text{ км}\).
▶РешениеСкрыть
Максимальная длина следа достигается, если исписать весь карандаш, не отрывая его от бумаги. Масса грифеля при письме не меняется, плотность его вещества тоже, поэтому объём грифеля равен объёму следа. Объём грифеля равен \(\pi r^2 h\), объём следа равен произведению ширины следа (диаметра грифеля \(2r\)), толщины \(\delta\) и длины \(L\): \[\pi r^2 h = 2r\,\delta\, L ,\] откуда \[L = \frac{\pi r h}{2\delta} = \frac{3{,}14\cdot 0{,}001\cdot 0{,}2}{2\cdot 6\cdot 10^{-9}}\ \text{м} \approx 5{,}23\cdot 10^{4}\ \text{м} \approx 52{,}3\text{ км}.\]
зад 2 Ахиллес и черепаха
Ахиллес преследует черепаху. В момент начала движения черепаха находится на \(1000\) шагов впереди Ахиллеса, а затем ползёт от Ахиллеса по прямой с постоянной скоростью. Ахиллес пробегает первые \(1000\) шагов с постоянной скоростью \(200\) шагов в минуту и видит, что черепаха за это время уползла на \(100\) шагов. Поняв, что так дело не пойдёт, Ахиллес ускоряется, и всё-таки настигает черепаху. Весь забег длится \(5\) минут \(15\) секунд. Чему равна средняя скорость Ахиллеса за всё время забега?
▶ПодсказкаСкрыть
По первому участку забега найдите скорость черепахи. Сколько шагов черепаха проползла за весь забег?
▶ОтветСкрыть
\(v_{\text{ср}} \approx 210\) шагов/мин.
▶РешениеСкрыть
За время, пока Ахиллес пробежал \(1000\) шагов, черепаха проползла \(100\). Значит, её скорость равна \(20\) шагов в минуту. За всё время забега (\(5{,}25\) мин) черепаха проползла \[20\ \frac{\text{шагов}}{\text{мин}}\cdot 5{,}25\text{ мин} = 105 \text{ шагов},\] а Ахиллес прошёл на \(1000\) шагов больше, то есть \(1105\) шагов. Его средняя скорость \[v_{\text{ср}} = \frac{1105\text{ шагов}}{5{,}25\text{ мин}} \approx 210\ \frac{\text{шагов}}{\text{мин}} .\]
зад 3 Статуэтка из золота и серебра
Рост отличника Васи \(1\) м \(60\) см, его масса \(55\) кг. За особые успехи в олимпиаде по физике директор школы решил изготовить статуэтку высотой \(20\) см, которая будет являться точной копией Васи. Первоначально статуэтку планировали сделать из золота, но так как золота оказалось недостаточное количество, решили добавить серебро. Какую часть (в процентах) общей массы статуэтки составило серебро, если масса фигурки оказалась равной \(1400\) г? Так как человек на \(80\,\%\) состоит из воды, то можно считать плотность Васи примерно равной плотности воды. Плотность золота \(19{,}3\text{ г/см}^3\), плотность серебра \(10{,}5\text{ г/см}^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Во сколько раз статуэтка меньше Васи по высоте? Во сколько раз меньше её объём? Какой была бы масса статуэтки, если бы она была полностью золотой?
▶ОтветСкрыть
Серебро составляет около \(57\,\%\) массы статуэтки.
▶РешениеСкрыть
Высота статуэтки в \(k = \dfrac{160\text{ см}}{20\text{ см}} = 8\) раз меньше роста Васи, значит, её объём в \(k^3 = 512\) раз меньше объёма Васи. Объём Васи найдём по его массе и плотности воды: \[V_{\text{В}} = \frac{55\text{ кг}}{1000\ \text{кг/м}^3} = 0{,}055\text{ м}^3 = 55\text{ дм}^3 .\] Тогда объём статуэтки \[V = \frac{V_{\text{В}}}{512} \approx 0{,}107\text{ дм}^3 \approx 107\text{ см}^3 .\] Если бы статуэтка была полностью золотой, её масса была бы \[M = 19{,}3\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\cdot 107\text{ см}^3 \approx 2065\text{ г},\] что больше фактической массы \(m = 1400\) г, так как серебро легче золота: при замене золота на серебро одного и того же объёма масса уменьшается на \((19{,}3 - 10{,}5)\ \text{г/см}^3\) в расчёте на \(1\text{ см}^3\). Значит, объём серебра в статуэтке \[V_{\text{с}} = \frac{2065\text{ г} - 1400\text{ г}}{8{,}8\ \text{г/см}^3} \approx 76\text{ см}^3 ,\] а его масса \[m_{\text{с}} = 10{,}5\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\cdot 76\text{ см}^3 \approx 798\text{ г}.\] Доля серебра: \(798\text{ г}/1400\text{ г} \approx 57\,\%\).
зад 4 Цилиндр на пружине в сосуде
В цилиндрический сосуд с водой опущен металлический цилиндр, подвешенный на пружине жёсткостью \(k = 10\text{ Н/м}\). Уровень воды в сосуде совпадает с положением верхней поверхности цилиндра (см. рис.). После того, как точку подвеса пружины подняли вверх на \(y = 5\) см, удлинение пружины увеличилось на \(x = 2\) см, а верхняя поверхность цилиндра оказалась на \(h = 4\) см выше уровня воды (нижняя поверхность цилиндра всё ещё в воде). Чему равна площадь поперечного сечения сосуда? Плотность воды \(\rho = 1{,}0\text{ г/см}^3\), ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\text{ м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Насколько поднялся цилиндр относительно первоначального положения? На сколько опустился уровень воды? Как изменилась сила Архимеда?
▶ОтветСкрыть
\(S = 20\text{ см}^2\).
▶РешениеСкрыть
Обозначим искомую площадь через \(S\), площадь поперечного сечения цилиндра — через \(S_1\). Из-за того, что часть цилиндра вытащили из воды, уровень воды понизился. Относительно старого уровня цилиндр поднялся на \((y - x) = 3\) см, а относительно нового — на \(h = 4\) см. Значит, уровень воды опустился на \[h_1 = h - (y - x) = 1\text{ см}.\] Выталкивающая сила уменьшилась на \(\rho g S_1 h\). На столько же увеличилась сила натяжения пружины: \[k x = \rho g S_1 h, \qquad S_1 = \frac{kx}{\rho g h} = 5\text{ см}^2 .\] Объём воды не меняется. Уровень опустился на \(h_1\) по всей площади \(S\) и одновременно вода заполнила пространство под цилиндром высотой \(h - h_1\) площадью \(S_1\): \[h_1 (S - S_1) = (h - h_1)\, S_1 ,\] откуда \[S = \frac{h}{h_1}\, S_1 = 4 S_1 = 20\text{ см}^2 .\]
зад 5 Проветривание комнаты
Плотность воздуха при постоянном давлении обратно пропорциональна его абсолютной температуре \(T\) и при температуре \(0\,^{\circ}\text{C}\) равна \(1{,}3\text{ кг/м}^3\). В Васиной комнате было очень жарко — комнатный термометр показывал \(+27\,^{\circ}\text{C}\). Поэтому, придя домой, Вася открыл окно, чтобы проветрить помещение, и отправился гулять. Вернувшись, он увидел, что термометр показывает всего \(+10\,^{\circ}\text{C}\). Комната имеет размеры (в длину, ширину и высоту) \(3{,}5\text{ м}\times 4\text{ м}\times 3\text{ м}\). Насколько увеличилась масса воздуха в комнате после такого проветривания?
Примечание: абсолютная температура \(T\) измеряется в кельвинах (К) и рассчитывается по формуле \(T = t + 273\text{ град}\), где \(t\) — температура, выраженная в градусах Цельсия.
▶ПодсказкаСкрыть
Переведите все температуры в абсолютную шкалу. Плотность воздуха при постоянном давлении пропорциональна \(1/T\): найдите коэффициент пропорциональности по данным при \(0\,^{\circ}\text{C}\).
▶ОтветСкрыть
Масса воздуха увеличилась примерно на \(3\) кг.
▶РешениеСкрыть
Переведём температуры в абсолютную шкалу: \(T_0 = 273\) К, \(T_{27} = 300\) К, \(T_{10} = 283\) К. По условию \(\rho = A/T\), где коэффициент \(A\) найдём по плотности при \(0\,^{\circ}\text{C}\): \[A = \rho_0 T_0 = 1{,}3\cdot 273 \approx 355\ \frac{\text{кг}\cdot\text{К}}{\text{м}^3} .\] Плотность воздуха в комнате до проветривания и после: \[\rho_{1} = \frac{A}{300\text{ К}} \approx 1{,}18\ \text{кг/м}^3, \qquad \rho_{2} = \frac{A}{283\text{ К}} \approx 1{,}25\ \text{кг/м}^3 .\] Объём комнаты \(V = 3{,}5\cdot 4\cdot 3 = 42\text{ м}^3\). Масса воздуха в комнате увеличилась на \[\Delta M = (\rho_2 - \rho_1)\, V \approx 3\text{ кг}.\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2014/15, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.