Курчатов, 2015/16, заключительный этап, 7 класс

Удлинение пружины пропорционально силе, а сила пропорциональна массе груза. Если показания не пропорциональны массе, то это зависимость вида «постоянная плюс коэффициент умножить на массу». Найдите коэффициенты по двум точкам.

\(4{,}2\) Н.

По условию для пружины динамометра справедлив закон Гука, значит, её удлинение прямо пропорционально приложенной к динамометру силе, а сила, действующая на динамометр, прямо пропорциональна массе подвешенного груза. Следовательно, удлинение пружины также прямо пропорционально массе подвешенного груза \(m\). Как видно из условия, показания динамометра не прямо пропорциональны массе подвешенного груза, значит, у динамометра сбит ноль. Получаем, что зависимость показаний динамометра \(F\) от массы подвешенного груза линейна: \[F = A + Bm.\] Найдём коэффициенты этой зависимости: \[B = \frac{4{,}8\text{ Н} - 3{,}0\text{ Н}}{350\text{ г} - 200\text{ г}} = 12\,\frac{\text{Н}}{\text{кг}}, \qquad A = 3{,}0\text{ Н} - 12\,\frac{\text{Н}}{\text{кг}}\cdot 0{,}2\text{ кг} = 0{,}6\text{ Н}.\] Показания динамометра для груза 300 г: \[F = A + B\cdot 0{,}3\text{ кг} = 4{,}2\text{ Н}.\]

Лента в рулоне укладывается слоями, и объём, занятый лентой, равен её длине, умноженной на толщину ленты и ширину. Ширина ленты при этом сокращается.

1) \(N\approx 475\) (по способу 1; по способу 2 получается \(\approx 473\)); 2) \(d_0\approx 40\) мкм.

Способ 1. Введём величину, которая впоследствии «сократится» — ширину ленты \(h\). Пусть толщина ленты равна \(x\). Объём пространства, занятый клейкой лентой, равен \(hxL = h\pi\left[R^2 - (R-d)^2\right]\). Из этой формулы следует \[x = \frac{\pi(2Rd - d^2)}{L} \approx 40\text{ мкм}.\] Количество слоёв равно \[N = \frac{d}{x} \approx 475.\]

Способ 2. Длину ленты в одном слое можно найти по формуле \(l=2\pi r\). Но у разных слоёв разные радиусы (наибольший радиус, равный \(R\), у внешнего слоя, а наименьший, равный \(R-d\), у внутреннего). Поэтому будем использовать среднее значение радиуса слоя \(r_{\text{ср}} = R - \dfrac{d}{2} = 50{,}5\) мм. Тогда число слоёв равно \[N = \frac{L}{2\pi r_{\text{ср}}} \approx 473.\] Толщину одного слоя найдём, разделив общую толщину рулона на количество слоёв: \[d_0 = \frac{d}{N} \approx 40\text{ мкм}.\]

Скорость на каждом следующем участке уменьшается на одну и ту же величину, значит, участков всего столько, сколько раз эта величина укладывается в начальную скорость. Время на каждом участке равно его длине, делённой на скорость.

\(S=100\) м; \(t\approx 29{,}3\) с; средняя скорость на первой половине дистанции \(\approx 7{,}74\) м/с; за первую половину времени пробегается \(\approx 80{,}7\) м.

Поскольку скорость спортсмена на каждом следующем участке на 1 м/с меньше, чем на предыдущем, а скорость на первом участке равна 10 м/с, всего спортсмен пробежит 10 участков, то есть \(S = 10\cdot 10\text{ м} = 100\) м. Время забега \(t\) найдём непосредственным расчётом: \[t = \frac{10\text{ м}}{10\text{ м/с}} + \frac{10\text{ м}}{9\text{ м/с}} + \dots + \frac{10\text{ м}}{2\text{ м/с}} + \frac{10\text{ м}}{1\text{ м/с}} \approx 29{,}3\text{ с}.\] Рассчитаем время \(t_1\), за которое спортсмен пробежал первую половину дистанции: \[t_1 = \frac{10\text{ м}}{10\text{ м/с}} + \frac{10\text{ м}}{9\text{ м/с}} + \dots + \frac{10\text{ м}}{7\text{ м/с}} + \frac{10\text{ м}}{6\text{ м/с}} \approx 6{,}45\text{ с}.\] Средняя скорость на первой половине пути равна \[v_1 = \frac{S/2}{t_1} \approx 7{,}74\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.\] Когда прошла ровно половина времени забега, спортсмен бежал со скоростью 2 м/с. Он начал бежать с такой скоростью через \(14{,}29\) с после старта. Значит, за половину времени он пробежал расстояние, равное \[s_2 = 80\text{ м} + 2\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\cdot\left(\frac{t}{2} - 14{,}29\text{ с}\right) = 80{,}7\text{ м}.\]

В начале капсула полностью погружена и вытесняет объём, равный своему объёму. В конце она плавает пустой и вытесняет воду весом, равным своему весу.

Уровень воды в сосуде поднимется на \(10\) см.

Масса воды, наполовину заполняющей капсулу, равна \(m\), значит, объём капсулы равен \[V = \frac{2m}{\rho} = 3\text{ м}^3.\] Вначале капсула вытесняет объём воды, равный объёму капсулы. В конце, согласно закону Архимеда, капсула вытесняет воду весом, равным весу капсулы. Дополнительно вода из капсулы была перелита в сосуд, поэтому изменение уровня воды в сосуде равно \[\Delta h = \frac{M + m - 2m}{\rho S} = 10\text{ см}.\]

Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза. Запишите условие равновесия стержня по силам и правило моментов относительно точки \(C\).

\(T_1 = \dfrac{5}{8}mg = 37{,}5\) Н.

Пусть искомая сила натяжения равна \(T_1\), а сила натяжения нити, прикреплённой к стержню в точке \(D\), равна \(T_2\). Поскольку подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза, сила натяжения нити, прикреплённой к стержню в точке \(E\), равна \(2T_2\). Из условия равновесия груза следует, что сила натяжения нити, которой груз прикреплён к стержню, равна \(mg\). Запишем условие равновесия стержня: \[T_1 + 3T_2 = mg.\] Запишем правило моментов для стержня относительно точки \(C\), где \(l\) — длина стержня: \[T_1\frac{l}{3} = T_2\frac{l}{3} + 2T_2\cdot\frac{2l}{3} \quad\Longrightarrow\quad T_2 = \frac{T_1}{5}.\] Подставив полученное выражение для \(T_2\) в условие равновесия, получим \[T_1 = \frac{5}{8}mg = 37{,}5\text{ Н}.\]