Курчатов, 2015/16, заключительный этап, 9 класс

Выразите дальность и высоту через время полёта. Для скорости перед падением используйте закон сохранения энергии.

\(t = 0{,}2~\text{с}\); \(v_1 \approx 3{,}6~\text{м/с}\).

Пусть время полёта равно \(t\). Тогда \(L = vt\), а \(h = \dfrac{gt^2}{2}\), значит, \[vt = \frac{3gt^2}{2} \implies t = \frac{2v}{3g} = 0{,}2~\text{с}.\] Значит, высота \(h = \dfrac{gt^2}{2} = 0{,}2~\text{м}\). Конечную скорость \(v_1\) найдём из закона сохранения энергии (массу тела примем равной 1): \[\frac{v^2}{2} + gh = \frac{v_1^2}{2} \implies v_1 = \sqrt{v^2 + 2gh} \approx 3{,}6~\text{м/с}.\]

Работа равна изменению потенциальной энергии пружины. Начальную деформацию пружины удобно обозначить неизвестной величиной \(x\) и составить систему из двух уравнений.

\(1{,}5A\).

Обозначим начальную деформацию пружины символом \(x\), жёсткость пружины будем считать равной единице. Тогда выполняются соотношения \[A = \frac{(b - x)^2}{2} - \frac{(a - x)^2}{2}, \qquad \frac{3A}{2} = \frac{(2b - x)^2}{2} - \frac{(2a - x)^2}{2}.\] Нужно найти величину \[Y = \frac{(3b - x)^2}{2} - \frac{(3a - x)^2}{2}.\] Перепишем два соотношения и уравнение для \(Y\) в виде \[\frac{b^2 - a^2}{2} = A + (b - a)x, \qquad 2(b^2 - a^2) = \frac{3A}{2} + 2(b - a)x, \qquad Y = \frac{9(b^2 - a^2)}{2} - 3(b - a)x.\] Обозначим \(m = \dfrac{b^2 - a^2}{2}\) и \(k = (b - a)x\). Решая систему из первых двух уравнений, находим \(m = -\dfrac{A}{4}\), \(k = -\dfrac{5A}{4}\). Отсюда \[Y = -\frac{9A}{4} + \frac{15A}{4} = 1{,}5A.\]

Сравните мощность мотора в двух случаях: изменение потенциальной энергии груза с шаром уменьшается на потенциальную энергию вытесненного воздуха.

\(n = \dfrac{M}{M + m - \rho\upsilon}\,N\).

Пусть \(h\) — разность высот между верхним и нижним горизонтальными участками транспортёра. За минуту \(N\) грузов поднимаются на высоту \(h\), и изменение их потенциальной энергии равно мощности мотора: \[P = MghN.\] После того как к грузам привязали шары, при подъёме одного груза его потенциальная энергия вместе с шаром увеличивается на \((M + m)gh\), но потенциальная энергия воздуха, вытесняемого шаром, уменьшается на \(\rho\upsilon gh\). Поэтому мощность мотора равна \[P = (M + m - \rho\upsilon)\,gh\,n.\] Поскольку мощность мотора не меняется, получаем \[n = \frac{M}{M + m - \rho\upsilon}\,N.\]

При постоянном напряжении мощность обратно пропорциональна сопротивлению цепи. Сравните сопротивления при последовательном и параллельном соединении.

Отношение длин равно \(\dfrac{5}{2}\) или \(\dfrac{2}{5}\) (в зависимости от того, какой кусок длиннее).

Пусть сопротивление первого куска равно \(R\), а второго — \(xR\). Сопротивление последовательно соединённых кусков равно \[R + xR = (1 + x)R,\] а сопротивление при параллельном соединении равно \[\frac{R\cdot xR}{R + xR} = \frac{x}{1 + x}\,R.\] При постоянном напряжении источника выделяющаяся мощность обратно пропорциональна сопротивлению нагрузки, поэтому \[(1 + x)R = 4{,}9\cdot\frac{x}{1 + x}\,R \implies x^2 - 2{,}9x + 1 = 0.\] Решая квадратное уравнение, находим \(x_1 = \dfrac{5}{2}\), \(x_2 = \dfrac{2}{5}\). То есть сопротивление одного куска в 2,5 раза больше сопротивления второго. У кусков проволоки одинакового сечения из одного и того же материала отношение сопротивлений равно отношению длин, поэтому длина одного куска в 2,5 раза больше длины другого.

Найдите тепло, выделяющееся при падении одной монеты, учитывая, что монета вытесняет воду. Максимальная температура достигается, когда всё это тепло идёт на нагрев одной последней монеты.

\(t_{\max} = t_0 + \left(1 - \dfrac{\rho_0}{\rho}\right)\dfrac{gH}{c}\);  \(N = \dfrac{c_0\rho_0 SH}{cm}\).

Поскольку промежутки между монетами можно не учитывать, расстояние от верхнего края воды до верхнего края объёма, занимаемого монетами, всегда будет равно \(H\). Нагревание жидкости происходит за счёт потенциальной энергии монет. При падении одной монеты она опускается на глубину \(H\), но такой же объём воды поднимается на высоту \(H\), как бы занимая место монеты. То есть тепло, выделяемое при падении одной монеты, равно \[Q = mgH - \frac{\rho_0}{\rho}mgH = \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)mgH.\] Это тепло идёт на нагрев всего содержимого сосуда, в том числе и последней монеты. Максимальную конечную температуру \(t\) в сосуде можно найти, если предположить, что вся выделяющаяся теплота идёт на нагрев одной последней монеты: при бросании очередной монеты вся выделившаяся при её падении теплота идёт на нагревание как раз этой монеты до максимальной установившейся температуры содержимого сосуда. Значит, \[\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)mgH = cm(t - t_0) \implies t = t_0 + \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)\frac{gH}{c}.\] Количество монет \(N\), которое необходимо бросить, чтобы нагреть воду до температуры \(t_1 = \dfrac{t + t_0}{2}\), найдём из уравнения теплового баланса: \[NQ = (Ncm + c_0\rho_0 SH)(t_1 - t_0) \implies N = \frac{c_0\rho_0 SH}{cm}.\]