Курчатов, 2016/17, заключительный этап, 10 класс

Разложите движение диска на поступательное движение центра и вращение вокруг центра.

\(v = \sqrt{2 - \sqrt{3}}\,v_0\).

Проскальзывание отсутствует, следовательно, все точки на краю диска вращаются относительно центра со скоростью \(v_0\). Полная скорость точки складывается из скорости вращательного движения и скорости поступательного движения центра. Скорость вращательного движения равна по модулю \(v_0\) и направлена горизонтально (поскольку это самая нижняя точка диска), а скорость центра по модулю также равна \(v_0\) и направлена под углом \(30^\circ\) к горизонту. Значит, вертикальная составляющая скорости центра равна \(v_0 \sin 30^\circ = v_0/2\), а горизонтальная равна \(v_0 \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} v_0\). Вертикальная составляющая полной скорости равна \(v_0/2\), а горизонтальная составляющая полной скорости равна \(v_0 - \dfrac{\sqrt{3}}{2} v_0\). Модуль полной скорости найдём по теореме Пифагора: \[v = \sqrt{\dfrac{1}{4} v_0^2 + \dfrac{7 - 4\sqrt{3}}{4} v_0^2} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}\,v_0.\]

Запишите второй закон Ньютона для каждого груза; учтите, что ускорения грузов равны по модулю.

\(t = \sqrt{\dfrac{(m_1 + m_2)\,h}{(m_1 - m_2)\,g}}\).

Поскольку нить нерастяжима, ускорения грузов будут равны по модулю и противоположны по направлению. Правый груз тяжелее, следовательно, его ускорение будет направлено вниз, а ускорение левого груза — вверх. Силы натяжения нити, действующие на грузы, будут равны по модулю, поскольку нить невесомая, блок неподвижный и идеальный, и трения нет. Обозначим модуль ускорений грузов \(a\), модуль сил натяжения нити \(T\). Направим ось \(y\) вертикально вверх и запишем второй закон Ньютона в проекции на ось \(y\) для правого и левого груза соответственно: \[\begin{cases} T - m_1 g = -m_1 a, \\ T - m_2 g = m_2 a; \end{cases} \quad \text{откуда} \quad a = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\, g.\] Относительно друг друга грузы будут удаляться с постоянным ускорением \(2a\), расстояние по вертикали между грузами через время \(t\) будет равно \[h = 2a \dfrac{t^2}{2}, \quad \text{откуда} \quad t = \sqrt{\dfrac{h}{a}} = \sqrt{\dfrac{(m_1 + m_2)\,h}{(m_1 - m_2)\,g}}.\]

Найдите суммарный импульс брусков до удара и используйте его для скоростей после удара; затем найдите пути брусков по работе силы трения.

\(L = \dfrac{5v^2}{2\mu g}\).

Для нахождения скоростей после удара можно воспользоваться законами сохранения энергии и импульса, однако решение можно указать и сразу, если заметить, что суммарный импульс брусков равен нулю. Значит, после столкновения бруски поменяют направления скоростей на противоположные, а по модулю скорости останутся теми же.

На первый брусок действует сила трения \(\mu m g\). Для нахождения расстояния \(s_1\), на которое отъедет первый брусок от места удара, приравняем его начальную кинетическую энергию к модулю работы силы трения: \[\dfrac{m v_1^2}{2} = \mu m g s_1, \quad \text{откуда} \quad s_1 = \dfrac{v_1^2}{2\mu g} = \dfrac{2v^2}{\mu g}.\] Рассуждая аналогичным образом, найдём расстояние, пройденное вторым бруском: \[s_2 = \dfrac{v^2}{2\mu g}.\] Расстояние, на которое разъедутся бруски, равно \[L = s_1 + s_2 = \dfrac{5v^2}{2\mu g}.\]

Запишите уравнение состояния гелия для баллона до и после надувания и для одного шарика.

\(500\) шариков.

Найдём изменение количества \(\Delta\nu\) гелия в баллоне объёмом \(V\), воспользовавшись уравнением состояния идеального газа: \[(p_1 - p_2) V = \Delta\nu\, R T, \quad \text{откуда} \quad \Delta\nu = \dfrac{60\,p_0 V}{RT}.\] Количество гелия в одном шарике \[\nu = \dfrac{pV}{kRT} = \dfrac{1{,}2\,p_0 V}{kRT}.\] Число надутых шариков \[N = \dfrac{\Delta\nu}{\nu} = \dfrac{60\,k}{1{,}2} = 500.\]

Введите токи в ветвях, запишите правила Кирхгофа для узлов \(C\), \(D\) и для контуров; учтите симметрию схемы.

\(R_{AB} = \dfrac{7}{5}R\);  \(I_{CD} = \dfrac{U}{7R}\).

Введём обозначения для сил токов, как показано на рисунке.

Запишем первое правило Кирхгофа для узлов \(C\) и \(D\): \[\begin{cases} I_1 = I_3 + I_5, \\ I_2 + I_5 = I_4; \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} I_5 = I_1 - I_3, \\ I_4 = I_1 + I_2 - I_3. \end{cases}\] Запишем второе правило Кирхгофа для контура \(ACBDA\): \[I_1 R + 2I_3 R - I_4 R - 2I_2 R = 0.\] Подставив в это уравнение выражение для \(I_4\), получим \[3I_3 R - 3I_2 R = 0 \iff I_2 = I_3 \implies I_5 = I_1 - I_2.\] Запишем второе правило Кирхгофа для контура \(ACDA\): \[I_1 R + (I_1 - I_2) R - 2I_2 R = 0 \implies I_2 = \dfrac{2}{3} I_1.\] Напряжение между точками \(A\) и \(B\) \[U = I_1 R + 2I_3 R = I_1 R + 2I_2 R = \dfrac{7}{3} I_1 R.\] В точку \(A\) втекает ток силой \[I = I_1 + I_2 = \dfrac{5}{3} I_1.\] Значит, общее сопротивление цепи \[R_0 = \dfrac{U}{I} = \dfrac{7}{5} R.\] Сила тока \[I_5 = I_1 - I_2 = \dfrac{1}{3} I_1 = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{U}{\frac{7}{3} R} = \dfrac{U}{7R}.\] Примечание: равенства \(I_1 = I_4\), \(I_2 = I_3\) могут быть получены из соображений симметрии.