Курчатов, 2016/17, заключительный этап, 7 класс

Первый и третий участки пройдены за одинаковое время. Найдите среднюю скорость на них, а затем время прохождения второго участка.

1) \(70\text{ км/ч}\);  2) \(105\text{ км}\);  3) \(1{,}5\text{ ч}\).

Поскольку первый и третий участки пути были пройдены за одинаковое время, средняя скорость на этих двух участках равна \[\frac{60\text{ км/ч} + 80\text{ км/ч}}{2} = 70\text{ км/ч}.\] Поскольку скорость на втором участке равна средней скорости на всём пути, она равна средней скорости на первом и третьем участках, то есть \(70\text{ км/ч}\). Время, затраченное на прохождение второй трети пути, \[t_2 = \frac{35\text{ км}}{70\text{ км/ч}} = 0{,}5\text{ ч}.\] Значит, полное время движения равно \(1{,}5\) ч. Полный путь найдём, зная среднюю скорость: \[s = 70\text{ км/ч}\cdot 1{,}5\text{ ч} = 105\text{ км}.\]

Найдите скорость сближения вертолёта со вторым авианосцем на первом участке. Затем учтите, что за время стоянки и полёта оба корабля продолжают двигаться.

\(75\) минут;  путь вертолёта \(\approx 156\text{ км}\).

В первой части полёта вертолёт и второй авианосец сближаются со скоростью \(200\text{ км/ч}\). Значит, вертолёт долетит до второго авианосца за время \[t_1 = \frac{100\text{ км}}{200\text{ км/ч}} = 30\text{ мин}.\] Затем в течение \(t_2 = 25\) минут вертолёт двигался вместе со вторым авианосцем. За \(t_1 + t_2 = 55\) минут авианосцы сблизятся на \(\dfrac{40\text{ км/ч}\cdot 55}{60\text{ ч}} = \dfrac{110}{3}\text{ км}\), и расстояние между ними будет равно \(100 - \dfrac{110}{3} = \dfrac{190}{3}\text{ км}\). Скорость сближения вертолёта и первого авианосца \(190\text{ км/ч}\), поэтому обратный путь займёт время \[t_3 = \frac{\dfrac{190}{3}\text{ км}}{190\text{ км/ч}} = \frac{1}{3}\text{ ч} = 20\text{ мин}.\] Полное время отсутствия вертолёта на авианосце \[t = t_1 + t_2 + t_3 = 75\text{ мин}.\] Вертолёт время \(t_1 + t_3 = 50\) мин двигался со скоростью \(175\text{ км/ч}\), а время \(t_2 = 25\) мин двигался со скоростью \(25\text{ км/ч}\), поэтому путь, пройденный вертолётом, \[s = 175\text{ км/ч}\cdot\frac{5}{6}\text{ ч} + 25\text{ км/ч}\cdot\frac{5}{12}\text{ ч} = 156{,}25\text{ км}\approx 156\text{ км}.\]

Сначала найдите массу одного яблока по его плотности и объёму, затем разделите массы.

\(\approx 167\) яблок в мешке;  \(\approx 16\,667\) яблок в кузове.

Масса одного яблока \[m = \rho V = 800\text{ кг/м}^3\cdot 225\cdot 10^{-6}\text{ м}^3 = 0{,}18\text{ кг} = 180\text{ г}.\] Число яблок в мешке \[N_1 = \frac{30\text{ кг}}{0{,}18\text{ кг}} \approx 167.\] Число яблок в грузовом автомобиле \[N_2 = \frac{3000\text{ кг}}{0{,}18\text{ кг}} \approx 16\,667.\]

При равномерном движении бруска сила упругости пружины уравновешивает силу трения; при подвешивании — силу тяжести. Запишите закон Гука для обоих случаев.

1) \(F = 0{,}8\text{ Н}\);  2) \(k = 80\text{ Н/м}\);  3) \(l = 90\text{ мм} = 9\text{ см}\).

Сила \(F\) равна силе, с которой пружина действует на брусок. Поскольку брусок движется равномерно, модуль действующей на него силы трения равен модулю силы, приложенной со стороны пружины. Значит, \[F = \mu m g = 0{,}8\text{ Н}.\] Обозначим длину пружины в первом и втором случае через \(l_1\) и \(l_2\) соответственно: \[l_1 = l + x_1 = 100\text{ мм}, \qquad l_2 = l + x_2 = 115\text{ мм}.\] По закону Гука: \[k x_1 = \mu m g, \qquad k x_2 = m g.\] Получаем соотношения \(x_1 = \mu x_2\) и \(x_2 - x_1 = l_2 - l_1 = 15\text{ мм}\), откуда \(x_1 = 10\text{ мм}\), \(x_2 = 25\text{ мм}\). Значит, \(k = \dfrac{F}{x_1} = 80\text{ Н/м}\), \(l = l_1 - x_1 = 90\text{ мм} = 9\text{ см}\).

Запишите равенство давлений на одном уровне внутри жидкости. Затем учтите, что объём воды при перетекании сохраняется.

Уровень жидкости в узком сосуде поднялся на \(8\) см; плотность керосина \(800\text{ кг/м}^3\).

Столб керосина высотой \(h_0\) уравновешен столбом воды высотой \(h_0 - x\): \[\rho_к g h_0 = \rho g (h_0 - x),\] значит, плотность керосина \[\rho_к = \rho\,\frac{h_0 - x}{h_0} = 800\text{ кг/м}^3.\] Пусть уровень воды в широком сосуде опустился на \(h\), тогда уровень воды в узком сосуде поднялся на \(2h\) (объём воды сохраняется, площадь широкого сосуда вдвое больше). Значит, высота столба воды относительно исходного уровня равна \(3h = h_0 - x\), откуда \(h = 4\) см. Уровень воды в узком сосуде поднялся на \(2h = 8\) см.